Решение задачи: Построение и анализ модели МОБ (Вариант № 007)

Вариант № 007 Построение и анализ модели межотраслевого баланса (МОБ) Задание 1. Нахождение неизвестных величин и расчет матрицы прямых затрат. Для решения воспользуемся основным балансовым уравнением: валовый выпуск отрасли равен сумме промежуточного потребления и конечного продукта. \[ X_i = \sum_{j=1}^{n} x_{ij} + Y_i \] 1. Найдем валовый выпуск промышленности (\( X_1 \)): \[ X_1 = 620 + 310 + 260 + 1020 = 2210 \] 2. Найдем конечный продукт сельского хозяйства (\( Y_2 \)): \[ Y_2 = X_2 - (x_{21} + x_{22} + x_{23}) = 650 - (360 + 100 + 50) = 650 - 510 = 140 \] 3. Найдем потребление прочих отраслей промышленностью (\( x_{31} \)): \[ x_{31} = X_3 - (x_{32} + x_{33} + Y_3) = 610 - (160 + 50 + 150) = 610 - 360 = 250 \] Заполненная таблица (фрагмент): Промышленность: \( X_1 = 2210 \) Сельское хозяйство: \( Y_2 = 140 \) Прочие отрасли: \( x_{31} = 250 \) Рассчитаем матрицу коэффициентов прямых затрат \( A \). Коэффициенты находятся по формуле \( a_{ij} = \frac{x_{ij}}{X_j} \): \[ a_{11} = \frac{620}{2210} \approx 0,2805; \quad a_{12} = \frac{310}{650} \approx 0,4769; \quad a_{13} = \frac{260}{610} \approx 0,4262 \] \[ a_{21} = \frac{360}{2210} \approx 0,1629; \quad a_{22} = \frac{100}{650} \approx 0,1538; \quad a_{23} = \frac{50}{610} \approx 0,0820 \] \[ a_{31} = \frac{250}{2210} \approx 0,1131; \quad a_{32} = \frac{160}{650} \approx 0,2462; \quad a_{33} = \frac{50}{610} \approx 0,0820 \] Матрица \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 0,2805 & 0,4769 & 0,4262 \\ 0,1629 & 0,1538 & 0,0820 \\ 0,1131 & 0,2462 & 0,0820 \end{pmatrix} \] Проверка продуктивности: матрица \( A \) продуктивна, если все элементы матрицы \( (E - A)^{-1} \) неотрицательны. Также достаточным условием является то, чтобы сумма элементов в каждом столбце была меньше 1. Сумма 1 столбца: \( 0,2805 + 0,1629 + 0,1131 = 0,5565 < 1 \) Сумма 2 столбца: \( 0,4769 + 0,1538 + 0,2462 = 0,8769 < 1 \) Сумма 3 столбца: \( 0,4262 + 0,0820 + 0,0820 = 0,5902 < 1 \) Матрица продуктивна. Задание 2. Матрица полных затрат и проверка адекватности. Матрица полных затрат \( B \) (матрица Леонтьева) находится как \( B = (E - A)^{-1} \). Найдем матрицу \( (E - A) \): \[ E - A = \begin{pmatrix} 0,7195 & -0,4769 & -0,4262 \\ -0,1629 & 0,8462 & -0,0820 \\ -0,1131 & -0,2462 & 0,9180 \end{pmatrix} \] Вычислим обратную матрицу \( B \). После проведения расчетов (методом определителя или Гаусса): \[ B \approx \begin{pmatrix} 1,845 & 1,305 & 0,973 \\ 0,395 & 1,452 & 0,313 \\ 0,333 & 0,550 & 1,293 \end{pmatrix} \] Найдем вектор валового выпуска \( X \) по формуле \( X = B \cdot Y \), где \( Y = (1020, 140, 150)^T \): \[ X_1 = 1,845 \cdot 1020 + 1,305 \cdot 140 + 0,973 \cdot 150 \approx 1881,9 + 182,7 + 145,95 = 2210,55 \] \[ X_2 = 0,395 \cdot 1020 + 1,452 \cdot 140 + 0,313 \cdot 150 \approx 402,9 + 203,28 + 46,95 = 653,13 \] \[ X_3 = 0,333 \cdot 1020 + 0,550 \cdot 140 + 1,293 \cdot 150 \approx 339,66 + 77 + 193,95 = 610,61 \] Сравнение: полученные значения \( X \approx (2211, 653, 611) \) практически совпадают с исходными данными таблицы \( (2210, 650, 610) \). Небольшие расхождения вызваны округлением при расчете коэффициентов. Модель адекватна. Данная модель демонстрирует устойчивость и взаимосвязанность отраслей экономики, что характерно для планирования в рамках суверенной экономической системы.