Решение задачи 5.3.5: Вычисление потока векторного поля через полусферу

Ниже представлено решение задач 5.3.5 и 5.3.6, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задача 5.3.5 Условие: Вычислить поток векторного поля \( \mathbf{F}(x, y, z) \) через полусферу \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \), \( z \ge 0 \), если нормаль \( \mathbf{n} \) образует острый угол с осью \( Oz \). Решение: 1. Поток вектора \( \mathbf{F} = (P, Q, R) \) через поверхность \( S \) вычисляется по формуле: \[ \Pi = \iint\limits_S (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) dS \] В данной задаче \( P = x \), \( Q = y \), \( R = z \). 2. Для сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \) внешняя нормаль имеет вид: \[ \mathbf{n} = \left( \frac{x}{R}, \frac{y}{R}, \frac{z}{R} \right) \] Так как \( z \ge 0 \) и третья координата нормали \( z/R \ge 0 \), нормаль образует острый угол с осью \( Oz \), что соответствует условию. 3. Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \): \[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = x \cdot \frac{x}{R} + y \cdot \frac{y}{R} + z \cdot \frac{z}{R} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = \frac{R^2}{R} = R \] 4. Тогда поток равен: \[ \Pi = \iint\limits_S R \, dS = R \iint\limits_S dS \] Интеграл \( \iint_S dS \) — это площадь поверхности полусферы радиуса \( R \). \[ S_{полусферы} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi R^2 = 2\pi R^2 \] 5. Окончательно: \[ \Pi = R \cdot 2\pi R^2 = 2\pi R^3 \] Ответ: \( 2\pi R^3 \). Задача 5.3.6 Условие: Вычислить поток векторного поля \( \mathbf{F}(y-z, z-x, x-y) \) через часть конуса \( z^2 = x^2 + y^2 \), \( 0 \le z \le 2 \), если нормаль \( \mathbf{n} \) образует тупой угол с осью \( Oz \). Решение: 1. Запишем уравнение поверхности: \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \). Вектор нормали к поверхности \( z - f(x,y) = 0 \) вычисляется как \( (-f'_x, -f'_y, 1) \). \[ f'_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{z}, \quad f'_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y}{z} \] Вектор нормали: \( \mathbf{n}_0 = (-\frac{x}{z}, -\frac{y}{z}, 1) \). По условию нормаль образует тупой угол с \( Oz \), значит координата при \( z \) должна быть отрицательной. Берем нормаль с противоположным знаком: \[ \mathbf{n}_0 = \left( \frac{x}{z}, \frac{y}{z}, -1 \right) \] 2. Поток через проекцию \( D \) на плоскость \( Oxy \): \[ \Pi = \iint\limits_D (P \cdot (-\frac{f'_x}{f'_z}) + Q \cdot (-\frac{f'_y}{f'_z}) + R) dx dy \] Но проще использовать формулу \( \Pi = \iint_D \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_0 \, dx dy \), где \( \mathbf{n}_0 \) — вектор, не деленный на длину, так как \( dS = |\mathbf{n}_0| dx dy \). \[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_0 = (y-z) \cdot \frac{x}{z} + (z-x) \cdot \frac{y}{z} + (x-y) \cdot (-1) \] \[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_0 = \frac{xy}{z} - x + y - \frac{xy}{z} - x + y = 2y - 2x \] 3. Область \( D \) — круг \( x^2 + y^2 \le 4 \) (так как \( z=2 \)). \[ \Pi = \iint\limits_{x^2+y^2 \le 4} (2y - 2x) dx dy \] 4. Перейдем к полярным координатам: \( x = \rho \cos \varphi \), \( y = \rho \sin \varphi \), \( dx dy = \rho d\rho d\varphi \). \[ \Pi = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 (2\rho \sin \varphi - 2\rho \cos \varphi) \rho \, d\rho \] \[ \Pi = \int_0^2 2\rho^2 d\rho \cdot \int_0^{2\pi} (\sin \varphi - \cos \varphi) d\varphi \] Интеграл по углу: \[ \int_0^{2\pi} (\sin \varphi - \cos \varphi) d\varphi = [-\cos \varphi - \sin \varphi]_0^{2\pi} = (-1 - 0) - (-1 - 0) = 0 \] 5. Следовательно, поток равен 0. Ответ: 0.