Решение задач 5.3.7 и 5.3.8

Ниже представлено решение задач 5.3.7 и 5.3.8, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задача 5.3.7 Условие: Вычислить поток векторного поля \( \mathbf{F}(1, 0, 0) \) через поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями \( x + y + z = 1 \), \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \). Решение: 1. Поверхность пирамиды является замкнутой. Для вычисления потока через замкнутую поверхность удобнее всего воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского: \[ \Pi = \iiint\limits_V \text{div} \mathbf{F} \, dV \] где \( V \) — объем пирамиды. 2. Найдем дивергенцию векторного поля \( \mathbf{F} = (P, Q, R) \), где \( P = 1, Q = 0, R = 0 \): \[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial (1)}{\partial x} + \frac{\partial (0)}{\partial y} + \frac{\partial (0)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0 \] 3. Так как дивергенция всюду равна нулю, то и интеграл по объему равен нулю: \[ \Pi = \iiint\limits_V 0 \, dV = 0 \] Ответ: 0. Задача 5.3.8 Условие: Вычислить поток векторного поля \( \mathbf{F}(xy, yz, xz) \) через часть сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \), расположенную в первом октанте (\( x, y, z \ge 0 \)), \( \mathbf{n} \) — внешняя нормаль. Решение: 1. Поток вычисляется по формуле: \( \Pi = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \). Для сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \) единичный вектор внешней нормали имеет вид: \[ \mathbf{n} = \left( \frac{x}{R}, \frac{y}{R}, \frac{z}{R} \right) \] 2. Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \): \[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = (xy) \cdot \frac{x}{R} + (yz) \cdot \frac{y}{R} + (xz) \cdot \frac{z}{R} = \frac{x^2 y + y^2 z + z^2 x}{R} \] 3. Перейдем к сферическим координатам: \[ x = R \sin \theta \cos \varphi, \quad y = R \sin \theta \sin \varphi, \quad z = R \cos \theta \] Для первого октанта: \( 0 \le \varphi \le \pi/2 \), \( 0 \le \theta \le \pi/2 \). Элемент площади сферы: \( dS = R^2 \sin \theta \, d\theta d\varphi \). 4. Подставим координаты в выражение для потока: \[ \Pi = \iint\limits_S \frac{x^2 y + y^2 z + z^2 x}{R} dS = \iint\limits_D (x^2 y + y^2 z + z^2 x) R \sin \theta \, d\theta d\varphi \] Заметим, что в силу симметрии первого октанта и циклической перестановки переменных в выражении \( x^2 y + y^2 z + z^2 x \), интегралы от каждого слагаемого будут равны. Вычислим одно из них, например \( \iint x^2 y \, dS \): \[ I_1 = \int_0^{\pi/2} d\varphi \int_0^{\pi/2} (R^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi) (R \sin \theta \sin \varphi) R \sin \theta \, d\theta \] \[ I_1 = R^4 \int_0^{\pi/2} \cos^2 \varphi \sin \varphi \, d\varphi \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta \] \[ \int_0^{\pi/2} \cos^2 \varphi \sin \varphi \, d\varphi = \left[ -\frac{\cos^3 \varphi}{3} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3} \] \[ \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16} \] \[ I_1 = R^4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{\pi R^4}{16} \] 5. Так как \( \iint x^2 y \, dS = \iint y^2 z \, dS = \iint z^2 x \, dS \), общий поток равен: \[ \Pi = 3 \cdot \frac{\pi R^4}{16} = \frac{3\pi R^4}{16} \] Ответ: \( \frac{3\pi R^4}{16} \).