Решение:

Задание: Решите неравенство \(\frac{-21}{(x+6)^2 - 10} \geqslant 0\). Запишите в ответ наибольшее целое число, входящее в решение. Решение: 1. Проанализируем дробь. Числитель дроби равен \(-21\), что является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю (\(\geqslant 0\)), знаменатель должен быть отрицательным, так как «минус на минус дает плюс». При этом знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно, исходное неравенство равносильно условию: \[ (x+6)^2 - 10 < 0 \] 2. Решим полученное неравенство: \[ (x+6)^2 < 10 \] Извлечем корень из обеих частей: \[ |x+6| < \sqrt{10} \] Это означает, что выражение под модулем находится в границах: \[ -\sqrt{10} < x + 6 < \sqrt{10} \] 3. Вычтем 6 из всех частей неравенства: \[ -6 - \sqrt{10} < x < -6 + \sqrt{10} \] 4. Оценим значение границ. Мы знаем, что \(\sqrt{9} = 3\), а \(\sqrt{16} = 4\). Значит, \(\sqrt{10} \approx 3,16\). Левая граница: \(-6 - 3,16 = -9,16\). Правая граница: \(-6 + 3,16 = -2,84\). Таким образом, решение находится в интервале: \[ x \in (-9,16; -2,84) \] 5. Найдем наибольшее целое число в этом интервале. Целые числа, входящие в промежуток: \(-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3\). Наибольшим из них является \(-3\). Ответ: -3.