Решение неравенства (x - 1)^2 < √2(x - 1)

Задание: Решите неравенство \( (x - 1)^2 < \sqrt{2}(x - 1) \). Выберите числа, удовлетворяющие неравенству. Решение: 1. Перенесем все члены неравенства в левую часть: \[ (x - 1)^2 - \sqrt{2}(x - 1) < 0 \] 2. Вынесем общий множитель \( (x - 1) \) за скобки: \[ (x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) < 0 \] 3. Найдем корни соответствующего уравнения \( (x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) = 0 \): Первый корень: \( x_1 = 1 \) Второй корень: \( x_2 = 1 + \sqrt{2} \) 4. Так как \( \sqrt{2} \approx 1,41 \), то второй корень \( x_2 \approx 1 + 1,41 = 2,41 \). 5. Решим неравенство методом интервалов. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями: \[ 1 < x < 1 + \sqrt{2} \] Или, приближенно: \[ 1 < x < 2,41 \] 6. Проверим предложенные числа на вхождение в этот интервал: - \( -3 \): нет - \( -2,5 \): нет - \( -2 \): нет - \( -1,5 \): нет - \( -1 \): нет - \( -0,5 \): нет - \( 0 \): нет - \( 0,5 \): нет - \( 1 \): нет (неравенство строгое) - \( 1,5 \): да (так как \( 1 < 1,5 < 2,41 \)) - \( 2 \): да (так как \( 1 < 2 < 2,41 \)) - \( 2,5 \): нет (так как \( 2,5 > 2,41 \)) Ответ: 1,5; 2.