Решение уравнения x³ + 4x² - 4x - 16 = 0

Задание: Решите уравнение \(x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0\). В ответ запишите произведение всех корней уравнения. Решение: 1. Решим уравнение методом группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: \[ (x^3 + 4x^2) + (-4x - 16) = 0 \] 2. Вынесем общие множители за скобки: \[ x^2(x + 4) - 4(x + 4) = 0 \] 3. Вынесем общий множитель \((x + 4)\): \[ (x + 4)(x^2 - 4) = 0 \] 4. Разложим вторую скобку по формуле разности квадратов: \[ (x + 4)(x - 2)(x + 2) = 0 \] 5. Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю: \[ x_1 = -4 \] \[ x_2 = 2 \] \[ x_3 = -2 \] 6. Вычислим произведение всех корней: \[ P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = (-4) \cdot 2 \cdot (-2) \] \[ P = 16 \] Примечание: Согласно теореме Виета для кубического уравнения вида \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), произведение корней равно \(-\frac{d}{a}\). В нашем случае: \(-\frac{-16}{1} = 16\). Ответ: 16.