Решение уравнения (x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0

Задание: Решите уравнение \((x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0\). Решение: 1. Заметим, что в левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (\(a^2 \geqslant 0\)). 2. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю. Таким образом, уравнение сводится к системе уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ x^2 + 3x - 10 = 0 \end{cases} \] 3. Решим первое уравнение системы: \[ x^2 = 25 \] \[ x_1 = 5, \quad x_2 = -5 \] 4. Решим второе уравнение системы \(x^2 + 3x - 10 = 0\) (например, по теореме Виета): \[ x_3 + x_4 = -3 \] \[ x_3 \cdot x_4 = -10 \] Отсюда корни второго уравнения: \[ x_3 = 2, \quad x_4 = -5 \] 5. Решением системы будет то значение \(x\), которое является корнем и для первого, и для второго уравнения одновременно (общее решение). - Для \(x = 5\): первое верно, второе нет. - Для \(x = -5\): первое верно (\((-5)^2 - 25 = 0\)), второе верно (\((-5)^2 + 3(-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0\)). - Для \(x = 2\): второе верно, первое нет. 6. Единственным общим корнем является \(x = -5\). Ответ: -5.