Решение уравнения: 1/(x-2)^2 - 6/(x-2) - 16 = 0

Задание: Решите уравнение \(\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{6}{x - 2} - 16 = 0\). Сколько корней имеет уравнение? Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их произведение. Решение: 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: \[ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \] 2. Введем замену переменной для упрощения уравнения. Пусть: \[ t = \frac{1}{x - 2} \] Тогда уравнение принимает вид квадратного: \[ t^2 - 6t - 16 = 0 \] 3. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 6 \] \[ t_1 \cdot t_2 = -16 \] Корни уравнения: \[ t_1 = 8 \] \[ t_2 = -2 \] 4. Вернемся к обратной замене для каждого случая: Случай 1: \[ \frac{1}{x - 2} = 8 \] \[ 1 = 8(x - 2) \] \[ 1 = 8x - 16 \] \[ 8x = 17 \] \[ x_1 = \frac{17}{8} = 2,125 \] Случай 2: \[ \frac{1}{x - 2} = -2 \] \[ 1 = -2(x - 2) \] \[ 1 = -2x + 4 \] \[ 2x = 3 \] \[ x_2 = \frac{3}{2} = 1,5 \] 5. Оба корня удовлетворяют ОДЗ (\(x \neq 2\)). Уравнение имеет 2 корня. 6. Найдем произведение корней: \[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{17}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{51}{16} = 3,1875 \] Ответы на вопросы в задании: Количество корней: 2. Произведение корней: 3,1875.