Решение: Вероятность рождения 3 мальчиков из 5 (Формула Бернулли)

Задача: Формула Бернулли. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Найдите вероятность того, что среди 5 новорожденных будет ровно 3 мальчика. Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] Где: \( n = 5 \) — общее количество новорожденных; \( k = 3 \) — количество мальчиков; \( p = 0.51 \) — вероятность рождения мальчика; \( q = 1 - p = 1 - 0.51 = 0.49 \) — вероятность рождения девочки. 1. Найдем число сочетаний из 5 по 3: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \] 2. Подставим все значения в формулу Бернулли: \[ P_5(3) = 10 \cdot (0.51)^3 \cdot (0.49)^{5-3} \] \[ P_5(3) = 10 \cdot (0.51)^3 \cdot (0.49)^2 \] 3. Произведем вычисления: \[ (0.51)^3 = 0.132651 \] \[ (0.49)^2 = 0.2401 \] \[ P_5(3) = 10 \cdot 0.132651 \cdot 0.2401 \approx 10 \cdot 0.0318495 \] \[ P_5(3) \approx 0.3185 \] Ответ: Вероятность того, что среди 5 новорожденных будет ровно 3 мальчика, составляет примерно 0.3185 (или 31.85%).