Нахождение функции распределения F(x) по заданной плотности f(x)

Задача: Непрерывная случайная величина (СВ). Задана плотность распределения \( f(x) \). Найдите функцию распределения \( F(x) \). \[ f(x) = \begin{cases} 1/4, & 0 \le x \le 4 \\ 0, & x < 0, x > 4 \end{cases} \] Решение: Функция распределения \( F(x) \) связана с плотностью распределения \( f(x) \) следующей формулой: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \] Рассмотрим три интервала для переменной \( x \): 1. При \( x < 0 \): Так как на этом интервале \( f(t) = 0 \), то: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0 \] 2. При \( 0 \le x \le 4 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{x} \frac{1}{4} dt = 0 + \left[ \frac{1}{4}t \right]_0^x = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{x}{4} \] 3. При \( x > 4 \): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{4} \frac{1}{4} dt + \int_{4}^{x} 0 dt = 0 + \left[ \frac{1}{4}t \right]_0^4 + 0 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 0 = 1 \] Запишем итоговый вид функции распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x}{4}, & 0 \le x \le 4 \\ 1, & x > 4 \end{cases} \] Ответ: \( F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x/4, & 0 \le x \le 4 \\ 1, & x > 4 \end{cases} \)