Основные распределения: Распределение Стьюдента

Вопрос: Основные распределения. Что характеризует и как задается распределение Стьюдента? Ответ: Распределение Стьюдента (или t-распределение) — это теоретическое распределение вероятностей, которое широко используется в математической статистике, в том числе в российской научной школе, для оценки параметров выборки при малом объеме данных. 1. Что характеризует распределение Стьюдента: - Оно характеризует распределение отношения стандартной нормальной случайной величины к корню из независимой величины, имеющей распределение «хи-квадрат», деленной на число степеней свободы. - Главным параметром распределения является число степеней свободы \( n \). - По форме оно напоминает нормальное распределение (колоколообразное и симметричное), но имеет более «тяжелые хвосты». Это означает, что при малых выборках вероятность появления значений, далеких от среднего, выше, чем у нормального распределения. - При увеличении числа степеней свободы (\( n \to \infty \)) распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. 2. Как задается распределение Стьюдента: Распределение задается плотностью вероятности \( f(t, n) \), которая выражается через гамма-функцию \( \Gamma(x) \): \[ f(t, n) = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi} \cdot \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot \left( 1 + \frac{t^2}{n} \right)^{-\frac{n+1}{2}} \] Где: \( t \) — значение случайной величины; \( n \) — число степеней свободы; \( \pi \) — константа (число Пи). В практических задачах (например, при построении доверительных интервалов или проверке гипотез) значения этого распределения обычно берут из специальных статистических таблиц или вычисляют с помощью компьютерных программ.