Решение задачи: Уравнение прямой, проходящей через точку

Ниже представлено подробное решение первых трех задач из вашего варианта, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку \(M_0(2; -3)\): а) параллельно прямой \(l: 2x + 3 = 0\); б) перпендикулярно прямой \(l: 2x + 3 = 0\). Решение: Уравнение прямой \(l\) можно записать как \(x = -1.5\). Это вертикальная прямая. а) Прямая, параллельная вертикальной, также является вертикальной и имеет вид \(x = a\). Так как она проходит через \(M_0(2; -3)\), то \(x = 2\), или \(x - 2 = 0\). б) Прямая, перпендикулярная вертикальной, является горизонтальной и имеет вид \(y = b\). Так как она проходит через \(M_0(2; -3)\), то \(y = -3\), или \(y + 3 = 0\). Ответ: а) \(x - 2 = 0\); б) \(y + 3 = 0\). Задача 2. Даны вершины треугольника \(A(-2; -2)\), \(B(7; -6)\), \(C(1; 2)\). Найти: а) уравнение высоты из вершины \(B\); б) уравнение медианы из вершины \(A\); в) угол \(B\). Решение: а) Высота \(BH\) перпендикулярна стороне \(AC\). Вектор \(\vec{AC} = (1 - (-2); 2 - (-2)) = (3; 4)\). Уравнение прямой через точку \(B(7; -6)\) с нормальным вектором \(\vec{n} = \vec{AC} = (3; 4)\): \[3(x - 7) + 4(y + 6) = 0\] \[3x - 21 + 4y + 24 = 0 \Rightarrow 3x + 4y + 3 = 0\] б) Медиана \(AM\) проходит через середину \(BC\). Координаты точки \(M\): \[x_M = \frac{7 + 1}{2} = 4, \quad y_M = \frac{-6 + 2}{2} = -2\] Точка \(M(4; -2)\). Уравнение \(AM\) через точки \(A(-2; -2)\) и \(M(4; -2)\): Так как ординаты точек одинаковы (\(y = -2\)), уравнение прямой: \(y + 2 = 0\). в) Угол \(B\) — это угол между векторами \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\). \(\vec{BA} = (-2 - 7; -2 - (-6)) = (-9; 4)\) \(\vec{BC} = (1 - 7; 2 - (-6)) = (-6; 8)\) \[\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-9)(-6) + 4 \cdot 8}{\sqrt{(-9)^2 + 4^2} \cdot \sqrt{(-6)^2 + 8^2}}\] \[\cos B = \frac{54 + 32}{\sqrt{81 + 16} \cdot \sqrt{36 + 64}} = \frac{86}{\sqrt{97} \cdot 10} = \frac{43}{5\sqrt{97}}\] \[B = \arccos \left( \frac{43}{5\sqrt{97}} \right)\] Задача 3. Найти расстояние от точки \(M\left(\frac{3}{5}; 3\right)\) до прямой \(5x - 12y - 6 = 0\). Решение: Используем формулу расстояния от точки \((x_0; y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\): \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Подставляем значения: \[d = \frac{|5 \cdot \frac{3}{5} - 12 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|3 - 36 - 6|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-39|}{\sqrt{169}} = \frac{39}{13} = 3\] Ответ: 3.