Задача 17. Как изменится сопротивление цепи, изображённой на рисунке, при замыкании ключа?
1) уменьшится
2) увеличится
3) не изменится
4) уменьшится или увеличится в зависимости от соотношения между сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\)
Решение:
Рассмотрим схему до замыкания ключа. Ток течёт только через резистор \(R_1\). Общее сопротивление цепи равно \(R_{общ1} = R_1\).
После замыкания ключа резисторы \(R_1\) и \(R_2\) оказываются соединены параллельно. Общее сопротивление для параллельного соединения двух резисторов рассчитывается по формуле:
\[\frac{1}{R_{общ2}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\] \[R_{общ2} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\]Мы знаем, что для параллельного соединения общее сопротивление всегда меньше наименьшего из сопротивлений, входящих в параллельное соединение. То есть \(R_{общ2} < R_1\) и \(R_{общ2} < R_2\).
В нашем случае, до замыкания ключа сопротивление было \(R_1\). После замыкания ключа оно стало \(R_{общ2}\), которое меньше \(R_1\).
Следовательно, сопротивление цепи уменьшится.
Ответ: 1) уменьшится
Задача 18. Участок цепи состоит из сопротивления \(R_1\) и двух одинаковых параллельно соединенных резисторов \(R_2\) и \(R_3\). Общее сопротивление участка 4 Ом. Чему равно сопротивление \(R_2\), если сопротивление \(R_1 = 3\) Ом?
Решение:
Дано:
\(R_{общ} = 4\) Ом
\(R_1 = 3\) Ом
\(R_2 = R_3\)
Найти: \(R_2\)
Сначала найдем эквивалентное сопротивление параллельно соединенных резисторов \(R_2\) и \(R_3\). Так как \(R_2 = R_3\), то для двух одинаковых параллельных резисторов:
\[R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{R_2 \cdot R_2}{R_2 + R_2} = \frac{R_2^2}{2R_2} = \frac{R_2}{2}\]Теперь рассмотрим всю цепь. Резистор \(R_1\) соединен последовательно с параллельным участком \(R_{23}\). Общее сопротивление цепи при последовательном соединении равно сумме сопротивлений:
\[R_{общ} = R_1 + R_{23}\]Подставим известные значения:
\[4 \text{ Ом} = 3 \text{ Ом} + \frac{R_2}{2}\]Вычтем 3 Ом из обеих частей уравнения:
\[4 - 3 = \frac{R_2}{2}\] \[1 = \frac{R_2}{2}\]Умножим обе части на 2, чтобы найти \(R_2\):
\[R_2 = 1 \cdot 2\] \[R_2 = 2 \text{ Ом}\]Ответ: 2 Ом
Задача 19. Каким будет сопротивление участка цепи, изображённого на рисунке, при замыкании ключа? Каждый из резисторов имеет сопротивление \(R\).
1) \(R\)
2) \(R/2\)
3) \(R/3\)
4) 0
Решение:
Рассмотрим схему. Все резисторы имеют одинаковое сопротивление \(R\).
Когда ключ разомкнут, ток течёт через три последовательно соединенных резистора, а затем через два параллельно соединенных резистора. Однако, нас интересует сопротивление при замыкании ключа.
При замыкании ключа, ключ шунтирует (закорачивает) все резисторы, которые находятся после него. Это означает, что ток пойдёт по пути наименьшего сопротивления, то есть через замкнутый ключ, минуя все резисторы, расположенные после точки замыкания ключа.
В данном случае, ключ замыкает цепь таким образом, что все резисторы оказываются закорочены. Ток будет течь напрямую через ключ, не проходя через резисторы.
Сопротивление идеального ключа в замкнутом состоянии равно нулю.
Следовательно, общее сопротивление участка цепи при замкнутом ключе будет равно нулю.
Ответ: 4) 0
Задача 20. Участок цепи состоит из трёх последовательно соединённых резисторов, сопротивления которых равны \(r\), \(2r\) и \(3r\). Каким должно быть сопротивление четвёртого резистора, добавленного в этот участок последовательно к первым трём, чтобы суммарное сопротивление участка увеличилось в 2 раза?
1) 0,25 кОм
3) 4 кОм
2) 2r
4) 6r
Решение:
Дано:
Сопротивления первых трёх резисторов: \(R_1 = r\), \(R_2 = 2r\), \(R_3 = 3r\).
Эти резисторы соединены последовательно.
Найдем начальное суммарное сопротивление \(R_{нач}\):
\[R_{нач} = R_1 + R_2 + R_3 = r + 2r + 3r = 6r\]К этому участку последовательно добавляют четвёртый резистор с сопротивлением \(R_4\).
Новое суммарное сопротивление \(R_{нов}\) будет:
\[R_{нов} = R_{нач} + R_4 = 6r + R_4\]По условию, суммарное сопротивление участка увеличилось в 2 раза, то есть:
\[R_{нов} = 2 \cdot R_{нач}\]Подставим выражения для \(R_{нов}\) и \(R_{нач}\):
\[6r + R_4 = 2 \cdot (6r)\] \[6r + R_4 = 12r\]Теперь найдем \(R_4\):
\[R_4 = 12r - 6r\] \[R_4 = 6r\]Ответ: 4) 6r
Задача 21. Через участок цепи (см. рис.) течёт постоянный ток \(I = 6\) А. Какую силу тока показывает амперметр? Сопротивлением амперметра пренебречь.
Решение:
Дано:
Общий ток \(I = 6\) А.
Сопротивления резисторов: три последовательных резистора по \(r\), затем параллельное соединение резистора \(r\) (с амперметром) и резистора \(2r\).
Найти: силу тока, показываемую амперметром (\(I_A\)).
Сначала найдем общее сопротивление цепи. Три последовательных резистора по \(r\) имеют суммарное сопротивление:
\[R_{посл} = r + r + r = 3r\]Далее, этот участок соединен последовательно с параллельным участком. Параллельный участок состоит из двух ветвей: одна с резистором \(r\) и амперметром (сопротивлением амперметра пренебрегаем, поэтому сопротивление этой ветви \(r\)), другая с резистором \(2r\).
Эквивалентное сопротивление параллельного участка \(R_{пар}\) найдем по формуле:
\[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{2r}\] \[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{2}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{3}{2r}\] \[R_{пар} = \frac{2r}{3}\]Общее сопротивление всей цепи \(R_{общ}\) будет:
\[R_{общ} = R_{посл} + R_{пар} = 3r + \frac{2r}{3} = \frac{9r}{3} + \frac{2r}{3} = \frac{11r}{3}\]Теперь найдем общее напряжение на всей цепи, используя закон Ома:
\[U_{общ} = I \cdot R_{общ} = 6 \text{ А} \cdot \frac{11r}{3} = 2 \cdot 11r = 22r\]Напряжение на параллельном участке \(U_{пар}\) можно найти как напряжение на всей цепи минус напряжение на последовательном участке \(R_{посл}\).
Напряжение на последовательном участке \(U_{посл}\) равно:
\[U_{посл} = I \cdot R_{посл} = 6 \text{ А} \cdot 3r = 18r\]Тогда напряжение на параллельном участке \(U_{пар}\) будет:
\[U_{пар} = U_{общ} - U_{посл} = 22r - 18r = 4r\]Так как ветви в параллельном соединении имеют одинаковое напряжение, то напряжение на ветви с амперметром и резистором \(r\) равно \(U_{пар} = 4r\).
Сила тока, которую показывает амперметр (\(I_A\)), это ток, текущий через резистор \(r\) в этой ветви:
\[I_A = \frac{U_{пар}}{r} = \frac{4r}{r} = 4 \text{ А}\]Ответ: 4 А
Задача 22. Через участок цепи (см. рис.) течёт постоянный ток \(I = 8\) А. Какую силу тока показывает амперметр? Сопротивлением амперметра пренебречь.
Решение:
Дано:
Общий ток \(I = 8\) А.
Сопротивления резисторов: три последовательных резистора по \(r\), затем параллельное соединение резистора \(r\) (с амперметром) и резистора \(3r\).
Найти: силу тока, показываемую амперметром (\(I_A\)).
Сначала найдем общее сопротивление цепи. Три последовательных резистора по \(r\) имеют суммарное сопротивление:
\[R_{посл} = r + r + r = 3r\]Далее, этот участок соединен последовательно с параллельным участком. Параллельный участок состоит из двух ветвей: одна с резистором \(r\) и амперметром (сопротивлением амперметра пренебрегаем, поэтому сопротивление этой ветви \(r\)), другая с резистором \(3r\).
Эквивалентное сопротивление параллельного участка \(R_{пар}\) найдем по формуле:
\[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{3r}\] \[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{3}{3r} + \frac{1}{3r} = \frac{4}{3r}\] \[R_{пар} = \frac{3r}{4}\]Общее сопротивление всей цепи \(R_{общ}\) будет:
\[R_{общ} = R_{посл} + R_{пар} = 3r + \frac{3r}{4} = \frac{12r}{4} + \frac{3r}{4} = \frac{15r}{4}\]Теперь найдем общее напряжение на всей цепи, используя закон Ома:
\[U_{общ} = I \cdot R_{общ} = 8 \text{ А} \cdot \frac{15r}{4} = 2 \cdot 15r = 30r\]Напряжение на последовательном участке \(U_{посл}\) равно:
\[U_{посл} = I \cdot R_{посл} = 8 \text{ А} \cdot 3r = 24r\]Тогда напряжение на параллельном участке \(U_{пар}\) будет:
\[U_{пар} = U_{общ} - U_{посл} = 30r - 24r = 6r\]Так как ветви в параллельном соединении имеют одинаковое напряжение, то напряжение на ветви с амперметром и резистором \(r\) равно \(U_{пар} = 6r\).
Сила тока, которую показывает амперметр (\(I_A\)), это ток, текущий через резистор \(r\) в этой ветви:
\[I_A = \frac{U_{пар}}{r} = \frac{6r}{r} = 6 \text{ А}\]Ответ: 6 А
Задача 23. Через участок цепи (см. рис.) течёт постоянный ток \(I = 4\) А. Какую силу тока показывает амперметр? Сопротивлением амперметра пренебречь.
Решение:
Дано:
Общий ток \(I = 4\) А.
Сопротивления резисторов: один последовательный резистор \(R\), затем параллельное соединение двух ветвей. Верхняя ветвь состоит из двух последовательных резисторов \(R\) и \(R\) (с амперметром). Нижняя ветвь состоит из трёх последовательных резисторов \(R\), \(R\) и \(R\).
Найти: силу тока, показываемую амперметром (\(I_A\)).
Сначала найдем сопротивление каждой ветви параллельного соединения.
Сопротивление верхней ветви \(R_{верх}\):
\[R_{верх} = R + R = 2R\]Сопротивление нижней ветви \(R_{ниж}\):
\[R_{ниж} = R + R + R = 3R\]Эквивалентное сопротивление параллельного участка \(R_{пар}\) найдем по формуле:
\[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_{верх}} + \frac{1}{R_{ниж}}\] \[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{3R}\] \[\frac{1}{R_{пар}} = \frac{3}{6R} + \frac{2}{6R} = \frac{5}{6R}\] \[R_{пар} = \frac{6R}{5}\]Общее сопротивление всей цепи \(R_{общ}\) будет:
\[R_{общ} = R + R_{пар} = R + \frac{6R}{5} = \frac{5R}{5} + \frac{6R}{5} = \frac{11R}{5}\]Теперь найдем общее напряжение на всей цепи, используя закон Ома:
\[U_{общ} = I \cdot R_{общ} = 4 \text{ А} \cdot \frac{11R}{5} = \frac{44R}{5}\]Напряжение на последовательном резисторе \(R\) равно:
\[U_R = I \cdot R = 4 \text{ А} \cdot R = 4R\]Напряжение на параллельном участке \(U_{пар}\) будет:
\[U_{пар} =