Решение итоговой контрольной работы (3 семестр)

Итоговая контрольная работа (за 3 семестр) Обязательная часть Задание 1. Найдите производную функции: \( y = \frac{1}{x} + 5x - 2 \) Решение: Используем правила дифференцирования: \( (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2} \), \( (5x)' = 5 \), \( (2)' = 0 \). \[ y' = -\frac{1}{x^2} + 5 \] Ответ: А) \( y' = -\frac{1}{x^2} + 5 \) Задание 2. Найдите \( f'(x) = 0 \), если \( f(x) = 2x - 5x^2 \). Решение: 1) Находим производную: \( f'(x) = (2x - 5x^2)' = 2 - 10x \). 2) Приравниваем к нулю: \( 2 - 10x = 0 \). \( 10x = 2 \) \( x = \frac{2}{10} = 0,2 \) Ответ: А) \( x = 0,2 \) Задание 3. Решить уравнение: \( \sqrt{x - 3} = 2x - 7 \). Решение: Возведем обе части в квадрат при условии \( 2x - 7 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 3,5 \)): \( x - 3 = (2x - 7)^2 \) \( x - 3 = 4x^2 - 28x + 49 \) \( 4x^2 - 29x + 52 = 0 \) Находим дискриминант: \( D = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 52 = 841 - 832 = 9 \). \( x_1 = \frac{29 + 3}{8} = 4 \); \( x_2 = \frac{29 - 3}{8} = 3,25 \). Проверка условия \( x \ge 3,5 \): подходит только \( x = 4 \). Ответ: Г) \( x = 4 \) Задание 4. Вычислить: \( \log_{\sqrt{2}} 8 \). Решение: Представим числа как степени двойки: \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \), \( 8 = 2^3 \). \[ \log_{2^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} \log_2 2 = 3 \cdot 2 = 6 \] Ответ: А) 6 Задание 5. Дано: куча щебня (конус), \( R = 2 \) м, \( L = 2,5 \) м. Найти объем \( V \). Решение: 1) Найдем высоту \( H \) по теореме Пифагора: \( H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2,5^2 - 2^2} = \sqrt{6,25 - 4} = \sqrt{2,25} = 1,5 \) м. 2) Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \). \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 1,5 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4 \cdot 1,5 = 2\pi \approx 6,28 \text{ м}^3 \] Ответ: \( 2\pi \text{ м}^3 \) Задание 6. Закон движения: \( S(t) = 2t^3 + t - 1 \). Найти \( v(3) \) и \( a(3) \). Решение: 1) Скорость — это первая производная: \( v(t) = S'(t) = 6t^2 + 1 \). При \( t = 3 \): \( v(3) = 6 \cdot 3^2 + 1 = 6 \cdot 9 + 1 = 55 \) м/с. 2) Ускорение — это вторая производная: \( a(t) = v'(t) = 12t \). При \( t = 3 \): \( a(3) = 12 \cdot 3 = 36 \text{ м/с}^2 \). Ответ: \( v = 55 \) м/с, \( a = 36 \text{ м/с}^2 \) Задание 7. Решить уравнение: \( 9^x - 3^x - 6 = 0 \). Решение: Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( t^2 - t - 6 = 0 \). По теореме Виета: \( t_1 = 3 \), \( t_2 = -2 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)). Обратная замена: \( 3^x = 3 \), откуда \( x = 1 \). Ответ: 1 Задание 8. Вычислите интеграл: \( \int_{-1}^{1} (2x - 3x^2 + 1) dx \). Решение: \[ \int_{-1}^{1} (2x - 3x^2 + 1) dx = [x^2 - x^3 + x]_{-1}^{1} \] Подставляем верхний предел: \( (1^2 - 1^3 + 1) = 1 - 1 + 1 = 1 \). Подставляем нижний предел: \( ((-1)^2 - (-1)^3 + (-1)) = 1 + 1 - 1 = 1 \). Разность: \( 1 - 1 = 0 \). Ответ: 0 Дополнительная часть Задание 9. Вычислить площадь фигуры: \( y = 6 + x - x^2 \), \( y = 6 - 2x \). Решение: 1) Найдем точки пересечения: \( 6 + x - x^2 = 6 - 2x \). \( -x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0 \). Точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \). 2) На интервале \( [0, 3] \) парабола \( y = 6 + x - x^2 \) выше прямой. 3) Площадь: \[ S = \int_{0}^{3} (6 + x - x^2 - (6 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx \] \[ S = [\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (\frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3}) - 0 = 13,5 - 9 = 4,5 \] Ответ: 4,5 кв. ед.