Решение задач по геометрии: Прямоугольник

Решение задач по геометрии. Тип 11 Дано: \( ABCD \) — прямоугольник \( AC, BD \) — диагонали \( O \) — точка пересечения диагоналей \( BO = 13 \) \( AB = 11 \) Найти: \( AC \) Решение: 1) По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. 2) Так как точка \( O \) делит диагональ \( BD \) пополам, то: \[ BD = 2 \cdot BO \] \[ BD = 2 \cdot 13 = 26 \] 3) Поскольку в прямоугольнике диагонали равны (\( AC = BD \)), то: \[ AC = 26 \] (Заметим, что значение стороны \( AB = 11 \) в данной задаче является избыточным данным). Ответ: 26. Тип 12 Дано: \( ABCD \) — прямоугольник \( \angle CAD = 51^\circ \) (угол между диагональю и стороной) Найти: острый угол между диагоналями. Решение: 1) Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, значит \( AO = OD \). 2) Следовательно, треугольник \( AOD \) — равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \[ \angle ODA = \angle OAD = 51^\circ \] 3) Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Найдем угол \( \angle AOD \): \[ \angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) \] \[ \angle AOD = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \] 4) Угол \( 78^\circ \) является острым (меньше \( 90^\circ \)), значит это и есть искомый угол между диагоналями. Ответ: 78.