Решение задач на сумму первых n членов геометрической прогрессии

Ниже представлено решение задач из раздела "необх.ур." (необходимый уровень), оформленное для записи в тетрадь. Для решения используется формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \] Задача 1. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (\(n=5\)): а) Дано: \(b_1 = 8\), \(q = \frac{1}{2}\). Решение: \[ S_5 = \frac{8 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = \frac{31}{2} = 15,5 \] Ответ: 15,5. б) Дано: \(b_1 = 500\), \(q = \frac{1}{5}\). Решение: \[ S_5 = \frac{500 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500 \cdot (1 - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}} = 500 \cdot \frac{3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} = \frac{125 \cdot 3124 \cdot 5}{3125} = \frac{3124 \cdot 625}{3125} = \frac{3124}{5} = 624,8 \] Ответ: 624,8. Задача 2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (\(n=6\)): а) Прогрессия: 3; -6; ... Здесь \(b_1 = 3\). Найдем знаменатель: \(q = \frac{-6}{3} = -2\). Решение: \[ S_6 = \frac{3 \cdot (1 - (-2)^6)}{1 - (-2)} = \frac{3 \cdot (1 - 64)}{3} = 1 - 64 = -63 \] Ответ: -63. б) Прогрессия: 54; 36; ... Здесь \(b_1 = 54\). Найдем знаменатель: \(q = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}\). Решение: \[ S_6 = \frac{54 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot (1 - \frac{64}{729})}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot \frac{665}{729} \cdot 3 = \frac{162 \cdot 665}{729} = \frac{2 \cdot 665}{9} = \frac{1330}{9} = 147\frac{7}{9} \] Ответ: \(147\frac{7}{9}\). в) Прогрессия: -32; -16; ... Здесь \(b_1 = -32\). Найдем знаменатель: \(q = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}\). Решение: \[ S_6 = \frac{-32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = -1 \cdot \frac{63}{2} \cdot 2 = -63 \] Ответ: -63. г) Прогрессия: 1; \(-\frac{1}{2}\); ... Здесь \(b_1 = 1\). Найдем знаменатель: \(q = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}\). Решение: \[ S_6 = \frac{1 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = \frac{21}{32} \] Ответ: \(\frac{21}{32}\).