Решение задачи: Построение векторов

Решим задачу по построению векторов. Условие задачи: Даны векторы \(\vec{b}\), \(\vec{k}\), \(\vec{p}\). Построй векторы \(\vec{s}\), \(\vec{t}\) и \(\vec{r}\) так, чтобы \(\vec{s} = 4\vec{b}\), \(\vec{t} = -5\vec{k}\), \(\vec{r} = 0,5\vec{p}\). Сначала определим координаты исходных векторов \(\vec{b}\), \(\vec{k}\), \(\vec{p}\) по рисунку. Предположим, что начало координат находится в левом нижнем углу сетки для каждого вектора. 1. Вектор \(\vec{b}\): Начинается в точке (2, 4) и заканчивается в точке (2, 2). Значит, \(\vec{b} = (2 - 2, 2 - 4) = (0, -2)\). Вектор \(\vec{b}\) направлен строго вниз и имеет длину 2 единицы. 2. Вектор \(\vec{k}\): Начинается в точке (4, 3) и заканчивается в точке (5, 4). Значит, \(\vec{k} = (5 - 4, 4 - 3) = (1, 1)\). Вектор \(\vec{k}\) направлен вправо-вверх по диагонали и имеет длину, соответствующую 1 единице вправо и 1 единице вверх. 3. Вектор \(\vec{p}\): Начинается в точке (1, 5) и заканчивается в точке (6, 5). Значит, \(\vec{p} = (6 - 1, 5 - 5) = (5, 0)\). Вектор \(\vec{p}\) направлен строго вправо и имеет длину 5 единиц. Теперь вычислим координаты векторов \(\vec{s}\), \(\vec{t}\) и \(\vec{r}\): 1. Вектор \(\vec{s} = 4\vec{b}\): \(\vec{s} = 4 \cdot (0, -2) = (4 \cdot 0, 4 \cdot (-2)) = (0, -8)\). Вектор \(\vec{s}\) должен быть направлен строго вниз и иметь длину 8 единиц. 2. Вектор \(\vec{t} = -5\vec{k}\): \(\vec{t} = -5 \cdot (1, 1) = (-5 \cdot 1, -5 \cdot 1) = (-5, -5)\). Вектор \(\vec{t}\) должен быть направлен влево-вниз по диагонали и иметь длину, соответствующую 5 единицам влево и 5 единицам вниз. 3. Вектор \(\vec{r} = 0,5\vec{p}\): \(\vec{r} = 0,5 \cdot (5, 0) = (0,5 \cdot 5, 0,5 \cdot 0) = (2,5, 0)\). Вектор \(\vec{r}\) должен быть направлен строго вправо и иметь длину 2,5 единицы. Теперь выберем верные варианты для каждого вектора. Выбери верный вариант для вектора \(\vec{s}\): Мы рассчитали, что \(\vec{s} = (0, -8)\). Это вектор, направленный строго вниз, длиной 8 клеток. * Вариант 1: Вектор направлен вверх, длина 4 клетки. Не подходит. * Вариант 2: Вектор направлен вверх, длина 5 клеток. Не подходит. * Вариант 3: Вектор направлен вниз, длина 4 клетки. Не подходит. * Вариант 4: Вектор направлен вверх, длина 4 клетки. Не подходит. * Вариант 5: Вектор направлен вниз, длина 4 клетки. Не подходит. Похоже, что в вариантах ответа для \(\vec{s}\) есть ошибка, так как ни один из них не показывает вектор длиной 8 клеток. Все показанные векторы имеют длину 4 или 5 клеток. Давайте перепроверим исходный вектор \(\vec{b}\). Он действительно 2 клетки вниз. Тогда \(4\vec{b}\) должен быть 8 клеток вниз. Если предположить, что на рисунках с вариантами ответа масштаб другой или есть ошибка в задании, и нужно выбрать наиболее подходящий по направлению и пропорциональной длине. Все варианты 3 и 5 показывают вектор, направленный вниз. Длина 4 клетки. Если бы \(\vec{b}\) был 1 клетку вниз, то \(4\vec{b}\) был бы 4 клетки вниз. Но \(\vec{b}\) - 2 клетки вниз. Возможно, в задании подразумевается, что \(\vec{b}\) имеет длину 1 клетку, а на рисунке он нарисован как 2 клетки. Или же варианты ответа неверны. Если строго следовать расчетам, то ни один из вариантов не подходит. Однако, если выбирать из того, что есть, и предположить, что длина \(\vec{b}\) на самом деле 1 клетка, то \(\vec{s}\) будет 4 клетки вниз. В этом случае, вариант 3 или 5 был бы правильным. Давайте предположим, что \(\vec{b}\) на исходном рисунке имеет длину 1 единицу, а нарисован как 2 единицы. Тогда \(\vec{s}\) будет 4 единицы вниз. В этом случае, вариант 3 или 5 (они одинаковые) будет верным. Выберем вариант 3. Выбери верный вариант для вектора \(\vec{t}\): Мы рассчитали, что \(\vec{t} = (-5, -5)\). Это вектор, направленный влево-вниз по диагонали, длиной 5 клеток влево и 5 клеток вниз. * Вариант 1: Вектор направлен вправо-вверх по диагонали (5 вправо, 5 вверх). Не подходит. * Вариант 2: Вектор направлен вправо-вниз по диагонали (5 вправо, 5 вниз). Не подходит. * Вариант 3: Вектор направлен влево-вниз по диагонали (5 влево, 5 вниз). Это соответствует нашим расчетам. * Вариант 4: Вектор направлен вправо-вверх по диагонали (5 вправо, 5 вверх). Не подходит. * Вариант 5: Вектор направлен влево-вверх по диагонали (5 влево, 5 вверх). Не подходит. Верный вариант для \(\vec{t}\) - Вариант 3. Выбери верный вариант для вектора \(\vec{r}\): Мы рассчитали, что \(\vec{r} = (2,5, 0)\). Это вектор, направленный строго вправо, длиной 2,5 единицы. * Вариант 1: Вектор направлен влево, длина 2,5 клетки. Не подходит. * Вариант 2: Вектор направлен вправо, длина 2,5 клетки. Это соответствует нашим расчетам. * Вариант 3: Вектор направлен вправо, длина 3 клетки. Не подходит. * Вариант 4: Вектор направлен влево, длина 2,5 клетки. Не подходит. * Вариант 5: Вектор направлен вправо, длина 3 клетки. Не подходит. Верный вариант для \(\vec{r}\) - Вариант 2. Итоговые ответы: Для вектора \(\vec{s}\): Вариант 3 (с допущением, что длина \(\vec{b}\) на исходном рисунке должна быть 1 клетка, а не 2, или что варианты ответа имеют ошибку в длине). Для вектора \(\vec{t}\): Вариант 3. Для вектора \(\vec{r}\): Вариант 2. Пояснение для школьника: 1. Определяем, куда направлены и какой длины исходные векторы \(\vec{b}\), \(\vec{k}\), \(\vec{p}\) по клеточкам. * Вектор \(\vec{b}\) идет на 2 клетки вниз. Значит, \(\vec{b} = (0, -2)\). * Вектор \(\vec{k}\) идет на 1 клетку вправо и на 1 клетку вверх. Значит, \(\vec{k} = (1, 1)\). * Вектор \(\vec{p}\) идет на 5 клеток вправо. Значит, \(\vec{p} = (5, 0)\). 2. Считаем координаты для каждого из трех векторов, которые нужно построить: * Для \(\vec{s} = 4\vec{b}\): \(\vec{s} = 4 \cdot (0, -2) = (0, -8)\). Этот вектор должен идти на 8 клеток вниз. * Для \(\vec{t} = -5\vec{k}\): \(\vec{t} = -5 \cdot (1, 1) = (-5, -5)\). Этот вектор должен идти на 5 клеток влево и на 5 клеток вниз. * Для \(\vec{r} = 0,5\vec{p}\): \(\vec{r} = 0,5 \cdot (5, 0) = (2,5, 0)\). Этот вектор должен идти на 2,5 клетки вправо. 3. Смотрим на предложенные рисунки и выбираем те, где векторы нарисованы правильно. * Для \(\vec{s}\): Мы ищем вектор, идущий на 8 клеток вниз. На рисунках нет такого варианта. Если предположить, что \(\vec{b}\) на самом деле 1 клетка вниз, то \(\vec{s}\) будет 4 клетки вниз. В этом случае, вариант 3 (или 5) подходит по направлению и длине (4 клетки вниз). Выбираем вариант 3. * Для \(\vec{t}\): Мы ищем вектор, идущий на 5 клеток влево и на 5 клеток вниз. Вариант 3 показывает именно такой вектор. * Для \(\vec{r}\): Мы ищем вектор, идущий на 2,5 клетки вправо. Вариант 2 показывает такой вектор. Ответы: Для вектора \(\vec{s}\): Вариант 3. Для вектора \(\vec{t}\): Вариант 3. Для вектора \(\vec{r}\): Вариант 2.