Решение задач на геометрическую прогрессию

Ниже представлены решения задач из теста, оформленные для записи в тетрадь. Вопрос 1. Найти сумму шести членов геометрической прогрессии 3; 15; ... Дано: \(b_1 = 3\) \(b_2 = 15\) \(n = 6\) Решение: 1) Найдем знаменатель прогрессии \(q\): \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{15}{3} = 5 \] 2) Используем формулу суммы \(n\) первых членов: \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \] \[ S_6 = \frac{3 \cdot (5^6 - 1)}{5 - 1} = \frac{3 \cdot (15625 - 1)}{4} = \frac{3 \cdot 15624}{4} \] \[ S_6 = 3 \cdot 3906 = 11718 \] Ответ: 11718. Вопрос 2. Вычислить сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если \(b_1 = 3\), \(q = 2\). Дано: \(b_1 = 3\) \(q = 2\) \(n = 5\) Решение: \[ S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93 \] Ответ: 93. Вопрос 3. Вычислить сумму шести членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если \(b_1 = 6\), \(q = \frac{1}{2}\). Дано: \(b_1 = 6\) \(q = \frac{1}{2}\) \(n = 6\) Решение: Используем формулу суммы \(n\) членов: \[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \] \[ S_6 = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{6 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} \] \[ S_6 = 6 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 12 \cdot \frac{63}{64} = \frac{3 \cdot 63}{16} = \frac{189}{16} = 11,8125 \] Ответ: 11,8125.