Вариант 11
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
\[yy' + xe^y = 0\]
Решение:
1. Перепишем данное дифференциальное уравнение, выразив производную \(y'\) как \(\frac{dy}{dx}\):
\[y \frac{dy}{dx} + xe^y = 0\]
2. Перенесем слагаемое \(xe^y\) в правую часть уравнения:
\[y \frac{dy}{dx} = -xe^y\]
3. Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на \(dx\) и разделим на \(e^y\):
\[\frac{y}{e^y} dy = -x dx\]
или, что то же самое:
\[ye^{-y} dy = -x dx\]
4. Проинтегрируем обе части уравнения:
\[\int ye^{-y} dy = \int -x dx\]
5. Вычислим интеграл в правой части:
\[\int -x dx = -\frac{x^2}{2} + C_1\]
6. Вычислим интеграл в левой части, используя метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\).
Пусть \(u = y\), тогда \(du = dy\).
Пусть \(dv = e^{-y} dy\), тогда \(v = \int e^{-y} dy = -e^{-y}\).
Подставляем в формулу:
\[\int ye^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int (-e^{-y}) dy\]
\[= -ye^{-y} + \int e^{-y} dy\]
\[= -ye^{-y} - e^{-y} + C_2\]
\[= -e^{-y}(y+1) + C_2\]
7. Приравниваем результаты интегрирования обеих частей:
\[-e^{-y}(y+1) = -\frac{x^2}{2} + C\]
где \(C = C_1 - C_2\) - произвольная постоянная.
8. Для удобства можно умножить обе части уравнения на \(-1\):
\[e^{-y}(y+1) = \frac{x^2}{2} - C\]
Обозначим новую произвольную постоянную \(K = -C\). Тогда:
\[e^{-y}(y+1) = \frac{x^2}{2} + K\]
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.
Ответ:
Общее решение дифференциального уравнения \(yy' + xe^y = 0\) имеет вид:
\[e^{-y}(y+1) = \frac{x^2}{2} + K\]
где \(K\) - произвольная постоянная.