Решение квадратных уравнений: примеры с подробным объяснением

Ниже представлено решение первых пяти задач из вашего списка в формате, удобном для переписывания в тетрадь. Задание 1. Решите уравнение \(x^2 - 4x - 45 = 0\). Решение: Воспользуемся формулой дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\] \[\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] \[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9\] Ответ: -59 Задание 2. Решите уравнение \(4 + 8x - 5x^2 = 0\). Решение: Приведем уравнение к стандартному виду: \[-5x^2 + 8x + 4 = 0\] Умножим на -1 для удобства: \[5x^2 - 8x - 4 = 0\] Вычислим дискриминант: \[D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144\] \[\sqrt{D} = 12\] Находим корни: \[x_1 = \frac{8 - 12}{10} = \frac{-4}{10} = -0,4\] \[x_2 = \frac{8 + 12}{10} = \frac{20}{10} = 2\] Ответ: -0,42 Задание 3. Решите уравнение \(2(x + 4)(x + 2) = x^2 + 2x\). Решение: Раскроем скобки в левой части: \[2(x^2 + 2x + 4x + 8) = x^2 + 2x\] \[2(x^2 + 6x + 8) = x^2 + 2x\] \[2x^2 + 12x + 16 - x^2 - 2x = 0\] \[x^2 + 10x + 16 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -10\] \[x_1 \cdot x_2 = 16\] Корни: \(x_1 = -8\), \(x_2 = -2\). Ответ: -8-2 Задание 4. Решите уравнение \(2x - 5x^2 + 7 = 0\). Решение: Запишем в стандартном виде: \[-5x^2 + 2x + 7 = 0\] \[5x^2 - 2x - 7 = 0\] Находим дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 4 + 140 = 144\] \[\sqrt{D} = 12\] Корни: \[x_1 = \frac{2 - 12}{10} = -1\] \[x_2 = \frac{2 + 12}{10} = 1,4\] Ответ: -11,4 Задание 5. Решите уравнение \(3x^2 - 5x + 7 = 1 + 3x + x^2\). Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \[3x^2 - x^2 - 5x - 3x + 7 - 1 = 0\] \[2x^2 - 8x + 6 = 0\] Разделим всё уравнение на 2: \[x^2 - 4x + 3 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 4\] \[x_1 \cdot x_2 = 3\] Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\). Ответ: 13