1. Функция задана формулой \(y = 5x + 18\). Определите:
а) значение \(y\), если \(x = 0,4\);
б) значение \(x\), при котором \(y = 3\);
в) проходит ли ее график через точку \(C(-6; -12)\).
Решение:
а) Чтобы найти значение \(y\) при \(x = 0,4\), подставим \(x\) в формулу:
\[y = 5 \cdot 0,4 + 18\]
\[y = 2 + 18\]
\[y = 20\]
Ответ: \(y = 20\).
б) Чтобы найти значение \(x\) при \(y = 3\), подставим \(y\) в формулу и решим уравнение:
\[3 = 5x + 18\]
\[3 - 18 = 5x\]
\[-15 = 5x\]
\[x = \frac{-15}{5}\]
\[x = -3\]
Ответ: \(x = -3\).
в) Чтобы проверить, проходит ли график через точку \(C(-6; -12)\), подставим координаты точки в формулу. Если равенство будет верным, то график проходит через эту точку.
Подставим \(x = -6\) и \(y = -12\):
\[-12 = 5 \cdot (-6) + 18\]
\[-12 = -30 + 18\]
\[-12 = -12\]
Равенство верное, значит, график функции проходит через точку \(C(-6; -12)\).
Ответ: Да, проходит.
2. а) Постройте график функции \(y = 2x + 4\).
б) Укажите с помощью графика, чему равно значение \(y\) при \(x = -1,5\).
Решение:
а) График функции \(y = 2x + 4\) является прямой линией. Для построения прямой достаточно двух точек.
Возьмем два значения \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 0\), то \(y = 2 \cdot 0 + 4 = 4\). Получаем точку \((0; 4)\).
Если \(x = -2\), то \(y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0\). Получаем точку \((-2; 0)\).
Начертите систему координат. Отметьте точки \((0; 4)\) и \((-2; 0)\). Проведите прямую через эти две точки.
б) Чтобы найти значение \(y\) при \(x = -1,5\) с помощью графика, найдите на оси \(x\) отметку \(-1,5\). Проведите вертикальную линию от этой отметки до пересечения с графиком. От точки пересечения проведите горизонтальную линию до пересечения с осью \(y\). Значение на оси \(y\) будет искомым.
По графику, при \(x = -1,5\), значение \(y\) будет:
\[y = 2 \cdot (-1,5) + 4\]
\[y = -3 + 4\]
\[y = 1\]
Ответ: При \(x = -1,5\), \(y = 1\).
3. В одной и той же системе координат постройте графики функций: а) \(y = -0,5x\); б) \(y = 5\).
Решение:
а) График функции \(y = -0,5x\) является прямой, проходящей через начало координат \((0; 0)\).
Возьмем еще одну точку:
Если \(x = 4\), то \(y = -0,5 \cdot 4 = -2\). Получаем точку \((4; -2)\).
Начертите систему координат. Отметьте точки \((0; 0)\) и \((4; -2)\). Проведите прямую через эти две точки.
б) График функции \(y = 5\) является прямой, параллельной оси \(x\) и проходящей через точку \((0; 5)\) на оси \(y\).
Начертите систему координат. Проведите горизонтальную прямую через отметку \(5\) на оси \(y\).
4. Найдите координаты точки пересечения графиков функций \(y = -14x + 32\) и \(y = 26x - 8\).
Решение:
В точке пересечения графиков значения \(y\) для обеих функций равны. Приравняем правые части уравнений:
\[-14x + 32 = 26x - 8\]
Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую:
\[32 + 8 = 26x + 14x\]
\[40 = 40x\]
\[x = \frac{40}{40}\]
\[x = 1\]
Теперь найдем значение \(y\), подставив \(x = 1\) в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:
\[y = -14 \cdot 1 + 32\]
\[y = -14 + 32\]
\[y = 18\]
Проверим со вторым уравнением:
\[y = 26 \cdot 1 - 8\]
\[y = 26 - 8\]
\[y = 18\]
Значения \(y\) совпали, значит, расчеты верны.
Ответ: Координаты точки пересечения \((1; 18)\).
5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y = 2x + 9\) и проходит через начало координат.
Решение:
Линейная функция имеет общий вид \(y = kx + b\).
Если график искомой функции параллелен прямой \(y = 2x + 9\), это означает, что их угловые коэффициенты \(k\) равны. У данной прямой \(k = 2\), значит, и у нашей функции \(k = 2\).
Таким образом, наша функция имеет вид \(y = 2x + b\).
График функции проходит через начало координат. Начало координат — это точка \((0; 0)\).
Подставим координаты этой точки в уравнение функции:
\[0 = 2 \cdot 0 + b\]
\[0 = 0 + b\]
\[b = 0\]
Итак, мы нашли, что \(k = 2\) и \(b = 0\).
Подставим эти значения в общий вид линейной функции:
\[y = 2x + 0\]
\[y = 2x\]
Ответ: Формула линейной функции \(y = 2x\).