Упрощение выражения: подробное решение

Задание: Упростить выражение. \[ \frac{8v + 1}{4v^{2/3} - 2\sqrt[3]{v} + 1} \] Решение: 1. Заметим, что в числителе находится сумма кубов. Представим \( 8v \) как \( (2\sqrt[3]{v})^3 \), а \( 1 \) как \( 1^3 \). Воспользуемся формулой суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). Пусть \( a = 2\sqrt[3]{v} \) и \( b = 1 \). 2. Разложим числитель по формуле: \[ 8v + 1 = (2\sqrt[3]{v} + 1)((2\sqrt[3]{v})^2 - 2\sqrt[3]{v} \cdot 1 + 1^2) \] \[ 8v + 1 = (2\sqrt[3]{v} + 1)(4\sqrt[3]{v^2} - 2\sqrt[3]{v} + 1) \] 3. Перепишем знаменатель, используя дробную степень: \[ 4v^{2/3} - 2\sqrt[3]{v} + 1 = 4\sqrt[3]{v^2} - 2\sqrt[3]{v} + 1 \] 4. Подставим разложенный числитель в исходную дробь: \[ \frac{(2\sqrt[3]{v} + 1)(4\sqrt[3]{v^2} - 2\sqrt[3]{v} + 1)}{4\sqrt[3]{v^2} - 2\sqrt[3]{v} + 1} \] 5. Сократим дробь на общий множитель \( (4\sqrt[3]{v^2} - 2\sqrt[3]{v} + 1) \): \[ 2\sqrt[3]{v} + 1 \] Ответ: \( 2\sqrt[3]{v} + 1 \) (или \( 2v^{1/3} + 1 \)).