Решение задачи: углы треугольника в ромбе

Дано: \(ABCD\) — ромб. \(AC \cap BD = O\). \(\angle BCD\) на \(80^{\circ}\) больше \(\angle ABC\). Найти: Углы \(\triangle AOB\). Решение: 1. В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^{\circ}\). Следовательно: \[\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}\] 2. Пусть \(\angle ABC = x\). Тогда \(\angle BCD = x + 80^{\circ}\). Составим уравнение: \[x + (x + 80^{\circ}) = 180^{\circ}\] \[2x + 80^{\circ} = 180^{\circ}\] \[2x = 100^{\circ}\] \[x = 50^{\circ}\] Значит, \(\angle ABC = 50^{\circ}\), а \(\angle BCD = 50^{\circ} + 80^{\circ} = 130^{\circ}\). 3. По свойствам ромба: - Диагонали взаимно перпендикулярны, значит \(\angle AOB = 90^{\circ}\). - Диагонали являются биссектрисами его углов. 4. Найдем углы \(\triangle AOB\): \[\angle ABO = \angle ABC : 2 = 50^{\circ} : 2 = 25^{\circ}\] \[\angle BAO = \angle BAD : 2\] Так как противоположные углы ромба равны, \(\angle BAD = \angle BCD = 130^{\circ}\). \[\angle BAO = 130^{\circ} : 2 = 65^{\circ}\] Проверка: сумма углов в \(\triangle AOB\) равна \(90^{\circ} + 25^{\circ} + 65^{\circ} = 180^{\circ}\). Ответ: \(\angle ABO = 25^{\circ}\), \(\angle BAO = 65^{\circ}\), \(\angle AOB = 90^{\circ}\).