Решение задач 4 варианта: проценты, корни, уравнения

Ниже представлены решения задач 4 варианта, оформленные для записи в тетрадь. 1. Задача на проценты Найдём, на сколько рублей снизилась цена: \[ 3500 - 2800 = 700 \text{ (руб.)} \] Чтобы найти процент снижения, разделим разницу на первоначальную цену и умножим на 100%: \[ \frac{700}{3500} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\% \] Ответ: на 20%. 2. Вычисление выражения \[ 36^{1/2} + \sqrt{49} + 22^0 \] Применим свойства степеней и корней: \[ 36^{1/2} = \sqrt{36} = 6 \] \[ \sqrt{49} = 7 \] \[ 22^0 = 1 \] Итого: \[ 6 + 7 + 1 = 14 \] Ответ: 14. 3. Иррациональное уравнение \[ \sqrt{3 - 2x} = 6 + x \] Возведём обе части в квадрат при условии \( 6 + x \ge 0 \) (т.е. \( x \ge -6 \)): \[ 3 - 2x = (6 + x)^2 \] \[ 3 - 2x = 36 + 12x + x^2 \] \[ x^2 + 14x + 33 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -11, x_2 = -3 \] Проверка условия \( x \ge -6 \): \( x_1 = -11 \) — не подходит. \( x_2 = -3 \) — подходит. Ответ: -3. 4. Показательное уравнение \[ 6^{x+4} = \left(\frac{1}{36}\right) \] Приведём к одному основанию: \[ 6^{x+4} = 6^{-2} \] \[ x + 4 = -2 \] \[ x = -6 \] Ответ: -6. 5. Показательное неравенство \[ \left(\frac{1}{9}\right)^x > \frac{1}{81} \] \[ \left(\frac{1}{9}\right)^x > \left(\frac{1}{9}\right)^2 \] Так как основание \( \frac{1}{9} < 1 \), знак неравенства меняется: \[ x < 2 \] Ответ: \( (-\infty; 2) \). 6. Вычисление логарифмов \[ \log_3 27 + 7^{\log_7 10} - \log_{\frac{1}{2}} 4 \] Вычислим каждое слагаемое: \[ \log_3 27 = 3 \text{ (так как } 3^3 = 27) \] \[ 7^{\log_7 10} = 10 \text{ (основное тождество)} \] \[ \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 \text{ (так как } (1/2)^{-2} = 4) \] Итого: \[ 3 + 10 - (-2) = 3 + 10 + 2 = 15 \] Ответ: 15. 7. Логарифмическое уравнение \[ \log_3 (8 - x) = \log_3 9 \] Так как основания равны: \[ 8 - x = 9 \] \[ -x = 1 \] \[ x = -1 \] Проверка ОДЗ: \( 8 - (-1) = 9 > 0 \) — верно. Ответ: -1. 8. Логарифмическое неравенство \[ \log_2 (1 - x) > 1 \] Представим 1 как логарифм: \[ \log_2 (1 - x) > \log_2 2 \] Так как основание \( 2 > 1 \), знак сохраняется, учитываем ОДЗ: \[ 1 - x > 2 \] \[ -x > 1 \] \[ x < -1 \] Ответ: \( (-\infty; -1) \). 9. Область определения функции \[ y = \log_5 \left(\frac{x^2 - 9}{x - 7}\right) \] Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \[ \frac{x^2 - 9}{x - 7} > 0 \Rightarrow \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 7} > 0 \] Метод интервалов: точки \( -3, 3, 7 \). Расставим знаки на промежутках: \( (-3; 3) \cup (7; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-3; 3) \cup (7; +\infty) \). 10. Геометрия (ромб) Дано: вершины A, B и точка O (пересечение диагоналей) лежат в плоскости \( \beta \). Доказать: C и D лежат в \( \beta \). Доказательство: 1) Точки A, B, O лежат в \( \beta \). Прямая AO лежит в \( \beta \) (по аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней). 2) В ромбе точка O — середина диагонали AC. Значит, точка C лежит на прямой AO. Следовательно, \( C \in \beta \). 3) Аналогично, прямая BO лежит в \( \beta \). Точка O — середина диагонали BD. Значит, точка D лежит на прямой BO. Следовательно, \( D \in \beta \). Что и требовалось доказать. 11. Геометрия (параллельность) Дано: ABCD — прямоугольник, \( N \notin (ABC) \). Доказать: \( CD \parallel (ABN) \). Доказательство: 1) В прямоугольнике противоположные стороны параллельны: \( CD \parallel AB \). 2) Прямая AB лежит в плоскости (ABN). 3) По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая (CD), не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой (AB) в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Значит, \( CD \parallel (ABN) \). Что и требовалось доказать. 12. Практическая задача Ситуация представляет собой прямоугольную трапецию, где основания — высоты столба (\( H = 9 \)) и дома (\( h = 3 \)), а расстояние между ними — ширина (\( a = 8 \)). Длина кабеля \( L \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Один катет равен расстоянию между объектами: \( 8 \text{ м} \). Второй катет равен разности высот: \( 9 - 3 = 6 \text{ м} \). По теореме Пифагора: \[ L = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ (м)} \] Ответ: 10 м.