Решение уравнения: Вариант 1, Задание 1

Ниже представлено решение задач из Варианта 1 в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задание 1. Решите уравнение: \[ \frac{x^2}{x-5} - \frac{x}{5-x} = \frac{30}{x-5} \] Решение: Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( 5-x = -(x-5) \). Тогда уравнение примет вид: \[ \frac{x^2}{x-5} + \frac{x}{x-5} = \frac{30}{x-5} \] Перенесем всё в одну сторону: \[ \frac{x^2 + x - 30}{x-5} = 0 \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 1) ОДЗ: \( x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \). 2) \( x^2 + x - 30 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -1 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -30 \] Корни: \( x_1 = -6 \), \( x_2 = 5 \). Учитывая ОДЗ, корень \( x = 5 \) является посторонним. Ответ: -6. Задание 2. Найдите корни уравнения: \[ \frac{2x-1}{x+2} = 1 - \frac{1}{2x} \] Решение: ОДЗ: \( x \neq -2 \), \( x \neq 0 \). Приведем к общему знаменателю \( 2x(x+2) \): \[ \frac{2x(2x-1)}{2x(x+2)} = \frac{2x(x+2) - (x+2)}{2x(x+2)} \] \[ 4x^2 - 2x = 2x^2 + 4x - x - 2 \] \[ 4x^2 - 2x = 2x^2 + 3x - 2 \] \[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] \[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = 0,5 \] Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 0,5; 2. Задание 3. При каких значениях x функции \( f(x) = \frac{x^2+3x}{x+8} \) и \( h(x) = \frac{x+8}{x^2+3x} \) принимают равные значения? Решение: Приравняем функции: \[ \frac{x^2+3x}{x+8} = \frac{x+8}{x^2+3x} \] ОДЗ: \( x \neq -8 \), \( x \neq 0 \), \( x \neq -3 \). Пусть \( \frac{x^2+3x}{x+8} = t \), тогда \( t = \frac{1}{t} \). \[ t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 \text{ или } t = -1 \] 1) \( \frac{x^2+3x}{x+8} = 1 \Rightarrow x^2 + 3x = x + 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \) Корни по Виету: \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 2 \). 2) \( \frac{x^2+3x}{x+8} = -1 \Rightarrow x^2 + 3x = -x - 8 \Rightarrow x^2 + 4x + 8 = 0 \) \( D = 16 - 32 = -16 < 0 \). Корней нет. Ответ: -4; 2. Задание 4. Найдите сумму корней уравнения: \[ \frac{1}{|x-1|} = \frac{2}{5-x} \] Решение: ОДЗ: \( x \neq 1 \), \( x < 5 \) (так как левая часть всегда положительна, то \( 5-x > 0 \)). Раскроем модуль: 1) Если \( x > 1 \): \[ \frac{1}{x-1} = \frac{2}{5-x} \Rightarrow 5-x = 2x-2 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x_1 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \] 2) Если \( x < 1 \): \[ \frac{1}{-(x-1)} = \frac{2}{5-x} \Rightarrow \frac{1}{1-x} = \frac{2}{5-x} \Rightarrow 5-x = 2-2x \Rightarrow x_2 = -3 \] Сумма корней: \( 2\frac{1}{3} + (-3) = -\frac{2}{3} \). Ответ: \( -\frac{2}{3} \). Задание 5. Задача на движение. Решение: Пусть \( v \) — собственная скорость катера (км/ч). Скорость течения \( v_{т} = 4 \) км/ч. Скорость против течения: \( v-4 \). Скорость по течению: \( v+4 \). Время против течения: \( t_1 = \frac{8}{v-4} \). Время по течению: \( t_2 = \frac{8}{v+4} \). По условию \( t_1 - t_2 = 30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч} \). \[ \frac{8}{v-4} - \frac{8}{v+4} = 0,5 \] Разделим на 0,5 (умножим на 2): \[ \frac{16}{v-4} - \frac{16}{v+4} = 1 \] \[ \frac{16(v+4) - 16(v-4)}{(v-4)(v+4)} = 1 \] \[ \frac{16v + 64 - 16v + 64}{v^2 - 16} = 1 \] \[ \frac{128}{v^2 - 16} = 1 \Rightarrow v^2 - 16 = 128 \Rightarrow v^2 = 144 \] Так как скорость положительна, \( v = 12 \) км/ч. Ответ: 12 км/ч.