Решение задач
Задача 1. Решите квадратическую систему уравнений:
\[ \begin{cases} xy = 8 \\ y - x = 2 \end{cases} \]Решение:
Из второго уравнения выразим \(y\):
\[y = x + 2\]Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
\[x(x + 2) = 8\]Раскроем скобки:
\[x^2 + 2x = 8\]Перенесем 8 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\[x^2 + 2x - 8 = 0\]Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Общая формула для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) и дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\).
\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)\] \[D = 4 + 32\] \[D = 36\]Найдем корни \(x\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя уравнение \(y = x + 2\).
Для \(x_1 = 2\):
\[y_1 = 2 + 2 = 4\]Для \(x_2 = -4\):
\[y_2 = -4 + 2 = -2\]Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: \((2; 4)\) и \((-4; -2)\).
Задача 2. Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 + 2y = 6 \\ y = x - 1 \end{cases} \]Решение:
Из второго уравнения у нас уже выражено \(y\):
\[y = x - 1\]Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
\[x^2 + 2(x - 1) = 6\]Раскроем скобки:
\[x^2 + 2x - 2 = 6\]Перенесем 6 в левую часть:
\[x^2 + 2x - 2 - 6 = 0\] \[x^2 + 2x - 8 = 0\]Это то же самое квадратное уравнение, что и в первой задаче. Мы уже знаем его корни.
\[x_1 = 2\] \[x_2 = -4\]Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя уравнение \(y = x - 1\).
Для \(x_1 = 2\):
\[y_1 = 2 - 1 = 1\]Для \(x_2 = -4\):
\[y_2 = -4 - 1 = -5\]Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: \((2; 1)\) и \((-4; -5)\).
Задача 3. Прямоугольный участок. Площадь \(S = 2080\) м\(^2\). Периметр \(P = 184\) м. Найдите длину и ширину.
Решение:
Пусть длина прямоугольного участка будет \(a\) (м), а ширина — \(b\) (м).
Формула для площади прямоугольника: \(S = a \cdot b\).
Формула для периметра прямоугольника: \(P = 2(a + b)\).
По условию задачи у нас есть:
\[S = 2080 \text{ м}^2 \Rightarrow ab = 2080\] \[P = 184 \text{ м} \Rightarrow 2(a + b) = 184\]Получаем систему уравнений:
\[ \begin{cases} ab = 2080 \\ 2(a + b) = 184 \end{cases} \]Из второго уравнения выразим сумму \(a + b\):
\[a + b = \frac{184}{2}\] \[a + b = 92\]Теперь выразим \(b\) через \(a\) из этого уравнения:
\[b = 92 - a\]Подставим это выражение для \(b\) в первое уравнение:
\[a(92 - a) = 2080\]Раскроем скобки:
\[92a - a^2 = 2080\]Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Удобнее перенести все в правую часть, чтобы коэффициент при \(a^2\) был положительным:
\[0 = a^2 - 92a + 2080\]Или, что то же самое:
\[a^2 - 92a + 2080 = 0\]Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь \(a = 1\), \(b = -92\), \(c = 2080\).
\[D = (-92)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2080\] \[D = 8464 - 8320\] \[D = 144\]Найдем корни \(a\):
\[a = \frac{-(-92) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\] \[a = \frac{92 \pm 12}{2}\] \[a_1 = \frac{92 + 12}{2} = \frac{104}{2} = 52\] \[a_2 = \frac{92 - 12}{2} = \frac{80}{2} = 40\]Теперь найдем соответствующие значения \(b\) для каждого \(a\), используя уравнение \(b = 92 - a\).
Если \(a_1 = 52\):
\[b_1 = 92 - 52 = 40\]Если \(a_2 = 40\):
\[b_2 = 92 - 40 = 52\]Таким образом, длина и ширина участка составляют 52 м и 40 м (или наоборот, что не меняет сути).
Ответ: Длина участка 52 м, ширина участка 40 м.