Решение задач по математике с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Карандаш стоил 55 рублей. Какое наибольшее число таких карандашей можно купить на 600 рублей после снижения цены на 15%? Решение: 1) Найдем новую цену карандаша: \[ 55 - 55 \cdot 0,15 = 55 - 8,25 = 46,75 \text{ (руб.)} \] 2) Найдем количество карандашей: \[ 600 : 46,75 \approx 12,83 \] Так как количество должно быть целым, можно купить 12 карандашей. Ответ: 12. Задача 2. В школе 240 учеников изучают немецкий язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников в школе? Решение: Чтобы найти число по его проценту, нужно значение разделить на процент: \[ 240 : 0,25 = 960 \text{ (учеников)} \] Ответ: 960. Задача 3. Телевизор стоил 35000 рублей. Цену снизили до 28000 рублей. На сколько процентов была снижена цена? Решение: 1) Найдем разницу в цене: \[ 35000 - 28000 = 7000 \text{ (руб.)} \] 2) Вычислим процент снижения от первоначальной цены: \[ \frac{7000}{35000} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\% \] Ответ: на 20%. Задача 4. Найдите область определения функции \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4) \). Решение: Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: \[ x^2 - 4 > 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) > 0 \] Методом интервалов получаем: \[ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \] Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \). Задача 8. Вычислите: \( \log_6 12 - \log_6 1,5 + \log_6 20 \). Решение: Используем свойства логарифмов: \[ \log_6 \left( \frac{12 \cdot 20}{1,5} \right) = \log_6 \left( \frac{240}{1,5} \right) = \log_6 160 \] (Примечание: возможно в условии опечатка и должно быть \( \log_6 4,5 \), тогда ответ был бы целым. Для данных чисел ответ \( \log_6 160 \)). Задача 11. Решите уравнение: \( \log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) = 2 \). Решение: По определению логарифма: \[ 2x - 1 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \] \[ 2x - 1 = \frac{1}{9} \] \[ 2x = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} \] \[ x = \frac{10}{9} : 2 = \frac{5}{9} \] Проверка: \( 2 \cdot \frac{5}{9} - 1 = \frac{10}{9} - 1 = \frac{1}{9} > 0 \). Ответ: \( \frac{5}{9} \). Задача 15. Решите уравнение: \( \sqrt{1 - x} = x + 1 \). Решение: Возведем обе части в квадрат при условии \( x + 1 \ge 0 \): \[ 1 - x = (x + 1)^2 \] \[ 1 - x = x^2 + 2x + 1 \] \[ x^2 + 3x = 0 \] \[ x(x + 3) = 0 \] Получаем корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -3 \). Проверка условия \( x \ge -1 \): Для \( x = 0 \): \( 0 \ge -1 \) (верно). Для \( x = -3 \): \( -3 \ge -1 \) (неверно). Ответ: 0. Задача 16. Решите уравнение: \( 27^x = \frac{1}{3} \). Решение: Приведем к основанию 3: \[ (3^3)^x = 3^{-1} \] \[ 3^{3x} = 3^{-1} \] \[ 3x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] Ответ: \( -\frac{1}{3} \).