Решение задачи: Параллельные прямые в треугольнике

Хорошо, давайте решим каждую из этих задач по очереди. --- Задача 7. Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Отрезок \(AC = 12\). Отрезок \(MN = 9\). Отрезок \(AB = 18\). Отрезок \(MB = x\). Предполагается, что \(MN \parallel AC\). Найти: \(x\). Ход решения: 1. Определим длину отрезка \(AM\). Мы знаем, что точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Длина всей стороны \(AB\) равна 18. Длина отрезка \(MB\) равна \(x\). Значит, длина отрезка \(AM\) будет равна разности длин \(AB\) и \(MB\). \[AM = AB - MB\] \[AM = 18 - x\] 2. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MBN\). Если \(MN \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(MBN\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, и углы \(BMN\) и \(BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 3. Запишем отношение сходственных сторон для подобных треугольников \(ABC\) и \(MBN\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC}\] 4. Используем известное отношение сторон для нахождения \(x\). Нам известны длины \(MN\), \(AC\), \(BM\) и \(BA\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}\] Подставим известные значения: \[\frac{9}{12} = \frac{x}{18}\] 5. Решим уравнение относительно \(x\). Сначала упростим дробь \(\frac{9}{12}\): \[\frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4}\] Теперь уравнение выглядит так: \[\frac{3}{4} = \frac{x}{18}\] Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на 18: \[x = \frac{3}{4} \cdot 18\] \[x = \frac{54}{4}\] \[x = \frac{27}{2}\] \[x = 13.5\] Ответ: Длина отрезка \(MB\) (обозначенного как \(x\)) равна 13.5. --- Задача 8. Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Отрезок \(AC = 16\). Отрезок \(MN = x\). Отрезок \(BN = 5\). Отрезок \(BC = 8\). Предполагается, что \(MN \parallel AC\). Найти: \(x\). Ход решения: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MBN\). Если \(MN \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(MBN\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, и углы \(BMN\) и \(BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 2. Запишем отношение сходственных сторон для подобных треугольников \(ABC\) и \(MBN\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}\] 3. Используем известное отношение сторон для нахождения \(x\). Нам известны длины \(MN\), \(AC\), \(BN\) и \(BC\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}\] Подставим известные значения: \[\frac{x}{16} = \frac{5}{8}\] 4. Решим уравнение относительно \(x\). Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на 16: \[x = \frac{5}{8} \cdot 16\] \[x = 5 \cdot \frac{16}{8}\] \[x = 5 \cdot 2\] \[x = 10\] Ответ: Длина отрезка \(MN\) (обозначенного как \(x\)) равна 10. --- Задача 9. Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\). Точка \(N\) лежит на стороне \(AB\). Отрезок \(AC = 10\). Отрезок \(MN = 4\). Отрезок \(NB = 5\). Отрезок \(AB = x\). Предполагается, что \(MN \parallel AC\). Найти: \(x\). Ход решения: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(NBM\). Если \(MN \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(NBM\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, и углы \(BNM\) и \(BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 2. Запишем отношение сходственных сторон для подобных треугольников \(ABC\) и \(NBM\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BA} = \frac{BM}{BC}\] 3. Используем известное отношение сторон для нахождения \(x\). Нам известны длины \(MN\), \(AC\), \(BN\) и \(BA\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BA}\] Подставим известные значения: \[\frac{4}{10} = \frac{5}{x}\] 4. Решим уравнение относительно \(x\). Сначала упростим дробь \(\frac{4}{10}\): \[\frac{4}{10} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5}\] Теперь уравнение выглядит так: \[\frac{2}{5} = \frac{5}{x}\] Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов): \[2 \cdot x = 5 \cdot 5\] \[2x = 25\] Разделим обе части уравнения на 2: \[x = \frac{25}{2}\] \[x = 12.5\] Ответ: Длина отрезка \(AB\) (обозначенного как \(x\)) равна 12.5. --- Задача 10. Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Отрезок \(AM = 3\). Отрезок \(BN = 3\). Отрезок \(NC = 2\). Отрезок \(AC = 10\). Отрезок \(MN = x\). Отрезок \(BM = y\). Предполагается, что \(MN \parallel AC\). Найти: \(x\) и \(y\). Ход решения: 1. Определим длину стороны \(BC\). Мы знаем, что точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Длина отрезка \(BN\) равна 3. Длина отрезка \(NC\) равна 2. Значит, длина всей стороны \(BC\) равна сумме длин \(BN\) и \(NC\). \[BC = BN + NC\] \[BC = 3 + 2\] \[BC = 5\] 2. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MBN\). Если \(MN \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(MBN\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, и углы \(BMN\) и \(BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 3. Запишем отношение сходственных сторон для подобных треугольников \(ABC\) и \(MBN\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}\] 4. Найдем \(x\) (длину отрезка \(MN\)). Используем отношение \(\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}\). Подставим известные значения: \[\frac{x}{10} = \frac{3}{5}\] Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на 10: \[x = \frac{3}{5} \cdot 10\] \[x = 3 \cdot 2\] \[x = 6\] 5. Найдем \(y\) (длину отрезка \(BM\)). Для этого сначала определим длину всей стороны \(BA\). \[BA = BM + AM\] \[BA = y + 3\] Теперь используем отношение \(\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}\). Подставим известные значения: \[\frac{3}{5} = \frac{y}{y + 3}\] Используем свойство пропорции: \[3 \cdot (y + 3) = 5 \cdot y\] \[3y + 9 = 5y\] Вычтем \(3y\) из обеих частей: \[9 = 5y - 3y\] \[9 = 2y\] Разделим обе части на 2: \[y = \frac{9}{2}\] \[y = 4.5\] Ответ: Длина отрезка \(MN\) (обозначенного как \(x\)) равна 6. Длина отрезка \(BM\) (обозначенного как \(y\)) равна 4.5. --- Задача 11. Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Отрезок \(AM = 2\). Отрезок \(NC = 3\). Отрезок \(MN = 4\). Отрезок \(AC = 12\). Отрезок \(BM = y\). Отрезок \(BN = x\). Предполагается, что \(MN \parallel AC\). Найти: \(x\) и \(y\). Ход решения: 1. Определим длину стороны \(AB\). Мы знаем, что точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Длина отрезка \(AM\) равна 2. Длина отрезка \(BM\) равна \(y\). Значит, длина всей стороны \(AB\) равна сумме длин \(AM\) и \(BM\). \[AB = AM + BM\] \[AB = 2 + y\] 2. Определим длину стороны \(BC\). Мы знаем, что точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Длина отрезка \(BN\) равна \(x\). Длина отрезка \(NC\) равна 3. Значит, длина всей стороны \(BC\) равна сумме длин \(BN\) и \(NC\). \[BC = BN + NC\] \[BC = x + 3\] 3. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MBN\). Если \(MN \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(MBN\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, и углы \(BMN\) и \(BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 4. Запишем отношение сходственных сторон для подобных треугольников \(ABC\) и \(MBN\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}\] 5. Найдем \(x\) (длину отрезка \(BN\)). Используем отношение \(\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}\). Подставим известные значения: \[\frac{4}{12} = \frac{x}{x + 3}\] Сначала упростим дробь \(\frac{4}{12}\): \[\frac{4}{12} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3}\] Теперь уравнение выглядит так: \[\frac{1}{3} = \frac{x}{x + 3}\] Используем свойство пропорции: \[1 \cdot (x + 3) = 3 \cdot x\] \[x + 3 = 3x\] Вычтем \(x\) из обеих частей: \[3 = 3x - x\] \[3 = 2x\] Разделим обе части на 2: \[x = \frac{3}{2}\] \[x = 1.5\] 6. Найдем \(y\) (длину отрезка \(BM\)). Используем отношение \(\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}\). Подставим известные значения: \[\frac{4}{12} = \frac{y}{2 + y}\] Мы уже упростили \(\frac{4}{12}\) до \(\frac{1}{3}\). Теперь уравнение выглядит так: \[\frac{1}{3} = \frac{y}{2 + y}\] Используем свойство пропорции: \[1 \cdot (2 + y) = 3 \cdot y\] \[2 + y = 3y\] Вычтем \(y\) из обеих частей: \[2 = 3y - y\] \[2 = 2y\] Разделим обе части на 2: \[y = \frac{2}{2}\] \[y = 1\] Ответ: Длина отрезка \(BN\) (обозначенного как \(x\)) равна 1.5. Длина отрезка \(BM\) (обозначенного как \(y\)) равна 1. --- Задача 12. Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Отрезок \(BM = 3\). Отрезок \(BN = 4\). Отрезок \(MN = 5\). Отрезок \(NC = 1\). Отрезок \(AM = y\). Отрезок \(AC = x\). Предполагается, что \(MN \parallel AC\). Найти: \(x\) и \(y\). Ход решения: 1. Определим длину стороны \(AB\). Мы знаем, что точка \(M\) лежит на стороне \(AB\). Длина отрезка \(BM\) равна 3. Длина отрезка \(AM\) равна \(y\). Значит, длина всей стороны \(AB\) равна сумме длин \(BM\) и \(AM\). \[AB = BM + AM\] \[AB = 3 + y\] 2. Определим длину стороны \(BC\). Мы знаем, что точка \(N\) лежит на стороне \(BC\). Длина отрезка \(BN\) равна 4. Длина отрезка \(NC\) равна 1. Значит, длина всей стороны \(BC\) равна сумме длин \(BN\) и \(NC\). \[BC = BN + NC\] \[BC = 4 + 1\] \[BC = 5\] 3. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MBN\). Если \(MN \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(MBN\) подобны по двум углам (угол \(B\) общий, и углы \(BMN\) и \(BAC\) равны как соответственные при параллельных прямых \(MN\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 4. Запишем отношение сходственных сторон для подобных треугольников \(ABC\) и \(MBN\). \[\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}\] 5. Найдем \(x\) (длину отрезка \(AC\)). Используем отношение \(\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}\). Подставим известные значения: \[\frac{5}{x} = \frac{4}{5}\] Используем свойство пропорции: \[5 \cdot 5 = x \cdot 4\] \[25 = 4x\] Разделим обе части на 4: \[x = \frac{25}{4}\] \[x = 6.25\] 6. Найдем \(y\) (длину отрезка \(AM\)). Используем отношение \(\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}\). Подставим известные значения: \[\frac{4}{5} = \frac{3}{3 + y}\] Используем свой