Решение задачи №20: Средняя линия трапеции и плоскость

Задача №20 Условие: Средняя линия трапеции лежит в плоскости \( \alpha \). Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость \( \alpha \)? Решение: 1. Пусть \( ABCD \) — данная трапеция с основаниями \( AD \) и \( BC \). Пусть \( MN \) — её средняя линия, где \( M \) — середина боковой стороны \( AB \), а \( N \) — середина боковой стороны \( CD \). 2. По условию средняя линия \( MN \) лежит в плоскости \( \alpha \), то есть \( MN \subset \alpha \). 3. По свойству средней линии трапеции, она параллельна основаниям: \[ MN \parallel AD \text{ и } MN \parallel BC \] 4. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая (\( AD \)), не лежащая в плоскости \( \alpha \), параллельна какой-нибудь прямой (\( MN \)), лежащей в плоскости \( \alpha \), то она параллельна самой плоскости. 5. Таким образом, прямые \( AD \) и \( BC \) либо параллельны плоскости \( \alpha \), либо лежат в ней. 6. Рассмотрим случай, когда основания не лежат в плоскости \( \alpha \). Так как \( AD \parallel MN \) и \( MN \subset \alpha \), то прямая \( AD \) параллельна плоскости \( \alpha \) (\( AD \parallel \alpha \)). Аналогично, \( BC \parallel \alpha \). 7. Прямая, параллельная плоскости, не имеет с ней общих точек, а значит, не пересекает её. 8. Если же основания \( AD \) и \( BC \) лежат в плоскости \( \alpha \), они также не пересекают её (так как имеют с ней бесконечное множество общих точек, а под пересечением в геометрии часто понимают наличие только одной общей точки). Ответ: Нет, не пересекают. Прямые, содержащие основания трапеции, либо параллельны плоскости \( \alpha \), либо лежат в ней.