Решение задач 8-11: Степени, Уравнения, Вероятность

Задание 8. Найдите значение выражения \( \frac{1}{4^{-10}} \cdot \frac{1}{4^9} \). Используем свойства степеней: \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \) и \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \). \[ \frac{1}{4^{-10}} \cdot \frac{1}{4^9} = 4^{10} \cdot 4^{-9} = 4^{10-9} = 4^1 = 4 \] Ответ: 4 Задание 9. Решите уравнение \( x^2 - 9 = 0 \). Перенесем 9 в правую часть: \[ x^2 = 9 \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -3 \] В ответ нужно записать больший из корней. Ответ: 3 Задание 10. Вероятность того, что ручка пишет плохо, равна 0,02. Событие "ручка пишет хорошо" является противоположным. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. \[ P = 1 - 0,02 = 0,98 \] Ответ: 0,98 Задание 11. А) \( y = \frac{1}{3}x + 2 \) — это линейная функция, график — прямая. Соответствует графику 2. Б) \( y = -4x^2 + 20x - 22 \) — это квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз. Соответствует графику 1. В) \( y = \frac{1}{x} \) — это обратная пропорциональность, график — гипербола. Соответствует графику 3. Ответ: 213 Задание 12. Дана формула \( t_F = 1,8t_C + 32 \). Известно, что \( t_F = 185 \). Подставим значение и решим уравнение относительно \( t_C \): \[ 185 = 1,8t_C + 32 \] \[ 1,8t_C = 185 - 32 \] \[ 1,8t_C = 153 \] \[ t_C = 153 : 1,8 = 1530 : 18 = 85 \] Ответ: 85 Задание 13. Укажите решение неравенства \( x - x^2 < 0 \). Разложим на множители: \[ x(1 - x) < 0 \] Корни уравнения \( x(1 - x) = 0 \): \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Рассмотрим интервалы на числовой прямой: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 1) \), \( (1; +\infty) \). При \( x = -1 \): \( -1(1 - (-1)) = -1 \cdot 2 = -2 < 0 \) (подходит). При \( x = 0,5 \): \( 0,5(1 - 0,5) = 0,25 > 0 \) (не подходит). При \( x = 2 \): \( 2(1 - 2) = -2 < 0 \) (подходит). Решение: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \). Это вариант 4. Ответ: 4 Задание 14. Масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. Общее время 42 минуты. 1. Найдем количество циклов распада: \( 42 : 7 = 6 \) раз. 2. Начальная масса 640 мг. После каждого цикла масса делится на 2: \[ 640 \rightarrow 320 \rightarrow 160 \rightarrow 80 \rightarrow 40 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \] Или по формуле: \( m = \frac{640}{2^6} = \frac{640}{64} = 10 \) мг. Ответ: 10 Задание 15. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла B противолежащим катетом является AC, а прилежащим — BC. \[ \text{tg } B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2 \] Ответ: 0,2 Задание 16. 1. Угол ABC опирается на дугу ADC. Значит, дуга \( ADC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 92^\circ = 184^\circ \). 2. Угол CAD — вписанный, он опирается на дугу CD. Значит, дуга \( CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \). 3. Найдем дугу AD: \( \cup AD = \cup ADC - \cup CD = 184^\circ - 120^\circ = 64^\circ \). 4. Угол ABD — вписанный, он опирается на дугу AD. \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ \] Ответ: 32