Решение задачи: Подобные треугольники (1 вариант)

Контрольная работа по теме "Подобные треугольники" 1 ВАРИАНТ Задача 1. Дано: KE и MN пересекаются в точке O, KM || NE. ON = 6 см, MO = 12 см, NE = 18 см. Доказать: \(\triangle KMO \sim \triangle NEO\). Найти: KM. Доказательство: 1) Рассмотрим \(\triangle KMO\) и \(\triangle NEO\). 2) \(\angle KOM = \angle EON\) как вертикальные. 3) \(\angle MKO = \angle NEO\) как накрест лежащие при параллельных прямых KM и NE и секущей KE. 4) Следовательно, \(\triangle KMO \sim \triangle NEO\) по двум углам (I признак подобия). Решение: Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{KM}{NE} = \frac{MO}{ON} \] Подставим известные значения: \[ \frac{KM}{18} = \frac{12}{6} \] \[ \frac{KM}{18} = 2 \] \[ KM = 18 \cdot 2 = 36 \text{ (см)} \] Ответ: KM = 36 см. Задача 2. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle KMT\), AB и KM — сходственные. AB = 4 см, BC = 6 см, CA = 8 см, KM : AB = 1,6. Найти: MT, TK, \(S_{KMT} : S_{ABC}\). Решение: 1) Коэффициент подобия \(k = \frac{KM}{AB} = 1,6\). 2) Найдем стороны \(\triangle KMT\): \[ MT = BC \cdot k = 6 \cdot 1,6 = 9,6 \text{ (см)} \] \[ TK = CA \cdot k = 8 \cdot 1,6 = 12,8 \text{ (см)} \] 3) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{KMT}}{S_{ABC}} = k^2 = (1,6)^2 = 2,56 \] Ответ: MT = 9,6 см, TK = 12,8 см, отношение площадей равно 2,56. Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\), K на AB, E на BC. AK = KB, BE = CE, KE = 6 см. Найти: AC. Решение: 1) Так как AK = KB и BE = CE, то точки K и E являются серединами сторон AB и BC соответственно. 2) Следовательно, KE — средняя линия \(\triangle ABC\). 3) По свойству средней линии треугольника: \[ KE = \frac{1}{2} AC \] \[ AC = 2 \cdot KE = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (см)} \] Ответ: AC = 12 см. Задача 4. Дано: Рост человека \(h = 1,7\) м, тень \(l = 4\) ш., расстояние до столба \(d = 8\) ш. Найти: Высоту столба H. Решение: 1) Человек и столб образуют с землей прямые углы, а лучи света падают под одним углом. Образуются подобные прямоугольные треугольники (по двум углам). 2) Пусть H — высота столба. Больший катет большого треугольника равен \(d + l = 8 + 4 = 12\) шагов. 3) Составим пропорцию: \[ \frac{H}{h} = \frac{d + l}{l} \] \[ \frac{H}{1,7} = \frac{12}{4} \] \[ \frac{H}{1,7} = 3 \] \[ H = 1,7 \cdot 3 = 5,1 \text{ (м)} \] Ответ: Высота столба 5,1 м. Задача 5. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\), \(S_{ABC} = 25\), \(S_{MNK} = 16\), MK = 2. AC и MK — сходственные. Найти: AC. Решение: 1) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = k^2 \] \[ k^2 = \frac{25}{16} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1,25 \] 2) Так как AC и MK — сходственные стороны: \[ \frac{AC}{MK} = k \] \[ \frac{AC}{2} = 1,25 \] \[ AC = 2 \cdot 1,25 = 2,5 \] Ответ: AC = 2,5.