Решение задач по геометрии с объяснениями

Ниже представлены решения задач с картинки, оформленные для записи в тетрадь. Задача №2 Найти: \(\angle DBA\) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DBC\). 2. По условию (отмечено на чертеже): \(AB = DB\) (одинаковые штрихи); \(AC = DC\) (двойные штрихи); Сторона \(BC\) — общая. 3. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle DBC\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 4. В равных треугольниках соответствующие углы равны, значит \(\angle ABC = \angle DBC\). 5. По чертежу \(\angle DBC = 50^\circ\), следовательно, \(\angle ABC = 50^\circ\). 6. Искомый угол \(\angle DBA = \angle ABC + \angle DBC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ\). Ответ: \(100^\circ\). Задача №3 Найти: \(\angle ABD\) Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(BMK\). Он прямоугольный (\(\angle BMK = 90^\circ\)). 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\). Значит, \(\angle MKB = 90^\circ - \angle MBK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник \(CBK\). По чертежу \(CB = BK\), значит он равнобедренный. 4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle BCK = \angle BKC = 60^\circ\). 5. Сумма углов треугольника \(180^\circ\), тогда \(\angle CBK = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ\). Треугольник \(CBK\) — равносторонний. 6. Углы \(\angle ABD\) и \(\angle CBK\) являются вертикальными. 7. По свойству вертикальных углов: \(\angle ABD = \angle CBK = 60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\). Задача №4 Найти: \(\angle ABD\) Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABK\). По чертежу \(AB = BK\), значит он равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике \(ABK\) отрезок \(BC\) является медианой (так как \(AC = CK\)). 3. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. 4. Значит, \(BC\) — биссектриса угла \(\angle ABK\), откуда \(\angle ABC = \angle KBC = 30^\circ\). 5. Угол \(\angle ABK = \angle ABC + \angle KBC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\). 6. Углы \(\angle ABD\) и \(\angle ABK\) — смежные. Их сумма равна \(180^\circ\). 7. \(\angle ABD = 180^\circ - \angle ABK = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Ответ: \(120^\circ\). Задача №5 Найти: \(\angle DBA\) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ABD\). 2. По условию: \(AC = AD\) (отмечено штрихами); \(\angle CAB = \angle DAB\) (отмечено дугами); Сторона \(AB\) — общая. 3. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ABD\) по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle CBA = \angle DBA\). 5. На чертеже видно, что точки \(C, B, D\) лежат на одной прямой, и \(AB\) перпендикулярна \(CD\) (исходя из симметрии и равенства смежных углов). 6. Смежные углы \(\angle CBA\) и \(\angle DBA\) в сумме дают \(180^\circ\). Так как они равны: \[\angle DBA = 180^\circ : 2 = 90^\circ\] Ответ: \(90^\circ\).