Решение задачи №8: Нахождение параметра c в плотности вероятности

Задача №8. Дано: Плотность вероятности непрерывной случайной величины задана функцией: \[ f(x) = \begin{cases} c \cdot x, & 0 \le x \le 2 \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} \] Найти: параметр \( c \). Решение: Для того чтобы функция \( f(x) \) являлась плотностью вероятности, она должна удовлетворять условию нормировки. Это означает, что площадь под графиком функции на всей числовой прямой должна быть равна 1: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \] Учитывая заданные интервалы, интеграл принимает вид: \[ \int_{0}^{2} c \cdot x dx = 1 \] Вычислим определенный интеграл: \[ c \cdot \int_{0}^{2} x dx = c \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 1 \] Подставим пределы интегрирования: \[ c \cdot \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 1 \] \[ c \cdot \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = 1 \] \[ c \cdot 2 = 1 \] Отсюда находим параметр \( c \): \[ c = \frac{1}{2} = 0,5 \] Ответ: \( c = 0,5 \).