Решение системы линейных уравнений методом Крамера (Задача 2.1, Вариант 1)

Задача 2.1. Вариант 1. Решим систему линейных уравнений тремя способами: \[ \begin{cases} 2x - y - z = 4 \\ 3x + 4y - 2z = 11 \\ 3x - 2y + 4z = 11 \end{cases} \] а) Метод Крамера. Вычислим главный определитель системы \(\Delta\): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 2(16 - 4) - (-1)(12 - (-6)) + (-1)(-6 - 12) = 2(12) + 1(18) - 1(-18) = 24 + 18 + 18 = 60 \] Так как \(\Delta \neq 0\), система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители: \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & -2 \\ 11 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 4(16 - 4) + 1(44 + 22) - 1(-22 - 44) = 48 + 66 + 66 = 180 \] \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 3 & 11 & -2 \\ 3 & 11 & 4 \end{vmatrix} = 2(44 + 22) - 4(12 + 6) - 1(33 - 33) = 132 - 72 - 0 = 60 \] \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 11 \\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix} = 2(44 + 22) + 1(33 - 33) + 4(-6 - 12) = 132 + 0 - 72 = 60 \] Находим неизвестные: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{180}{60} = 3 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1 \] \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1 \] б) Матричный метод (с помощью обратной матрицы). Запишем систему в виде \(A \cdot X = B\), где: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} \] Решение ищем в виде \(X = A^{-1} \cdot B\). Ранее мы нашли \(\det(A) = 60\). Найдем алгебраические дополнения \(A_{ij}\): \[ A_{11} = 12, A_{12} = -18, A_{13} = -18 \] \[ A_{21} = 6, A_{22} = 11, A_{23} = 1 \] \[ A_{31} = 6, A_{32} = 1, A_{33} = 11 \] Обратная матрица: \[ A^{-1} = \frac{1}{60} \begin{pmatrix} 12 & 6 & 6 \\ -18 & 11 & 1 \\ -18 & 1 & 11 \end{pmatrix} \] Находим \(X\): \[ X = \frac{1}{60} \begin{pmatrix} 12 & 6 & 6 \\ -18 & 11 & 1 \\ -18 & 1 & 11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} = \frac{1}{60} \begin{pmatrix} 48 + 66 + 66 \\ -72 + 121 + 11 \\ -72 + 11 + 121 \end{pmatrix} = \frac{1}{60} \begin{pmatrix} 180 \\ 60 \\ 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] в) Метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & | & 4 \\ 3 & 4 & -2 & | & 11 \\ 3 & -2 & 4 & | & 11 \end{pmatrix} \] Умножим 1-ю строку на 3, а 2-ю и 3-ю на 2: \[ \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 & | & 12 \\ 6 & 8 & -4 & | & 22 \\ 6 & -4 & 8 & | & 22 \end{pmatrix} \] Вычтем 1-ю строку из 2-й и 3-й: \[ \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 & | & 12 \\ 0 & 11 & -1 & | & 10 \\ 0 & -1 & 11 & | & 10 \end{pmatrix} \] Умножим 3-ю строку на 11 и прибавим к ней 2-ю: \[ \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 & | & 12 \\ 0 & 11 & -1 & | & 10 \\ 0 & 0 & 120 & | & 120 \end{pmatrix} \] Из 3-го уравнения: \(120z = 120 \Rightarrow z = 1\). Из 2-го уравнения: \(11y - 1 = 10 \Rightarrow 11y = 11 \Rightarrow y = 1\). Из 1-го уравнения: \(6x - 3(1) - 3(1) = 12 \Rightarrow 6x = 18 \Rightarrow x = 3\). Ответ: \(x = 3, y = 1, z = 1\).