Решение задачи: Сложение векторов в квадрате

Задание: Сложение векторов. Условие: Дан квадрат \( ABCD \), \( O \) — точка пересечения диагоналей. Даны векторы \( \vec{a} = \vec{OC} \) и \( \vec{b} = \vec{OD} \). Необходимо найти сумму векторов \( \vec{a} + \vec{b} \). Решение: 1. Вспомним правило параллелограмма для сложения векторов: если два вектора исходят из одной точки, то их сумма — это вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. 2. В нашей задаче векторы \( \vec{OC} \) и \( \vec{OD} \) исходят из общей точки \( O \). 3. Построим на этих векторах параллелограмм. Так как \( ABCD \) — квадрат, его диагонали пересекаются под прямым углом (\( AC \perp BD \)) и точкой пересечения делятся пополам. 4. Заметим, что стороны квадрата \( BC \) и \( AD \) параллельны, а также \( AB \) и \( CD \) параллельны. Вектор \( \vec{OC} \) направлен из центра к вершине \( C \), а вектор \( \vec{OD} \) — из центра к вершине \( D \). 5. Сумма векторов \( \vec{OC} + \vec{OD} \) по правилу параллелограмма будет направлена от точки \( O \) в сторону стороны \( CD \). Однако, удобнее воспользоваться правилом треугольника или свойствами векторов в квадрате. 6. В квадрате вектор \( \vec{OC} \) равен вектору \( \vec{AO} \). Тогда: \[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{OC} + \vec{OD} \] 7. Также мы знаем, что в квадрате вектор \( \vec{BC} \) можно представить через точку \( O \). Но проще всего увидеть, что сумма векторов, направленных из центра к соседним вершинам, дает вектор, который по направлению и модулю совпадает с вектором стороны, если перенести начало в соответствующую точку. 8. Воспользуемся равенством векторов: \( \vec{OC} = \vec{AO} \). Тогда: \[ \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{AO} + \vec{OD} \] 9. По правилу сложения векторов (правило треугольника): \[ \vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD} \] 10. В квадрате вектор \( \vec{AD} \) равен вектору \( \vec{BC} \), так как они сонаправлены и имеют равную длину. Проверим варианты: - \( \vec{CD} \) — не подходит. - \( \vec{CB} \) — не подходит. - \( \vec{BC} \) — подходит (так как \( \vec{AD} = \vec{BC} \)). - \( \vec{DC} \) — не подходит. Ответ: \( \vec{BC} \)