Свойства арифметического квадратного корня:
- \( (\sqrt{x})^2 = x, x \ge 0 \)
- \( \sqrt{x^2} = |x|, x \in R \)
- \( (\sqrt[2n]{a})^{2n} = a, a \ge 0, n \in N \)
- \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|, x \in R, n \in N \)
Используя свойства арифметического квадратного корня, выполните вычисления:
1. Выражение: \( \sqrt{7^2} \)
Решение: Используем свойство \( \sqrt{x^2} = |x| \).
Здесь \( x = 7 \). Так как \( 7 \) — положительное число, то \( |7| = 7 \).
Значит, \( \sqrt{7^2} = |7| = 7 \).
Ответ: \( 7 \)
2. Выражение: \( \sqrt{11^2} \)
Решение: Используем свойство \( \sqrt{x^2} = |x| \).
Здесь \( x = 11 \). Так как \( 11 \) — положительное число, то \( |11| = 11 \).
Значит, \( \sqrt{11^2} = |11| = 11 \).
Ответ: \( 11 \)
3. Выражение: \( \sqrt{(-13)^4} \)
Решение: Используем свойство \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| \).
В данном случае, \( \sqrt{(-13)^4} \) можно переписать как \( \sqrt{((-13)^2)^2} \).
Или, если использовать свойство \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| \), где \( 2n = 4 \), то \( n = 2 \).
Тогда \( x = -13 \).
Значит, \( \sqrt{(-13)^4} = |(-13)^2| \).
Вычислим \( (-13)^2 = (-13) \times (-13) = 169 \).
Тогда \( |169| = 169 \).
Или, если использовать свойство \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|^n \), то \( \sqrt{(-13)^4} = |(-13)|^2 = 13^2 = 169 \).
Ответ: \( 169 \)
4. Выражение: \( \sqrt{10^4} \)
Решение: Используем свойство \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| \).
В данном случае, \( \sqrt{10^4} \) можно переписать как \( \sqrt{(10^2)^2} \).
Или, если использовать свойство \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|^n \), где \( 2n = 4 \), то \( n = 2 \).
Тогда \( x = 10 \).
Значит, \( \sqrt{10^4} = |10|^2 \).
Так как \( 10 \) — положительное число, то \( |10| = 10 \).
Тогда \( 10^2 = 100 \).
Ответ: \( 100 \)