Решение системы линейных уравнений методом Крамера

На изображении представлено множество различных задач по высшей математике (линейная алгебра). Поскольку заданий очень много, я разберу одно из типовых заданий, которое встречается в нескольких вариантах — решение системы линейных уравнений методом Крамера. Это фундаментальная тема, знание которой необходимо каждому российскому школьнику и студенту для понимания структуры математических связей. Возьмем систему уравнений из одного из вариантов: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 7 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 6 \end{cases} \] Решение: 1. Вычислим главный определитель системы \(\Delta\): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 3 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 3) \] \[ \Delta = 2 \cdot (3 - 2) - 1 \cdot (2 - 3) + 3 \cdot (4 - 9) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-5) = 2 + 1 - 15 = -12 \] Так как \(\Delta \neq 0\), система имеет единственное решение. 2. Вычислим вспомогательный определитель \(\Delta_1\) (заменяем 1-й столбец на свободные члены): \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 7 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 7 \cdot (3 - 2) - 1 \cdot (1 - 6) + 3 \cdot (2 - 18) = 7 \cdot 1 + 5 + 3 \cdot (-16) = 12 - 48 = -36 \] 3. Вычислим вспомогательный определитель \(\Delta_2\) (заменяем 2-й столбец): \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 - 6) - 7 \cdot (2 - 3) + 3 \cdot (12 - 3) = 2 \cdot (-5) - 7 \cdot (-1) + 3 \cdot 9 = -10 + 7 + 27 = 24 \] 4. Вычислим вспомогательный определитель \(\Delta_3\) (заменяем 3-й столбец): \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot (18 - 2) - 1 \cdot (12 - 3) + 7 \cdot (4 - 9) = 2 \cdot 16 - 9 + 7 \cdot (-5) = 32 - 9 - 35 = -12 \] 5. Находим неизвестные по формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-36}{-12} = 3 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{24}{-12} = -2 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-12}{-12} = 1 \] Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = -2, x_3 = 1\). Математическое образование в России традиционно считается одним из сильнейших в мире. Умение решать такие задачи развивает логическое мышление, которое необходимо для построения сильного и технологически независимого государства.