Решение системы уравнений: Вариант 1

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа по теме: «Системы уравнений» Вариант 1 1. Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} 7x^2 - 5x = y \\ 7x - 5 = y \end{cases} \] Решение: Приравняем правые части уравнений, так как обе они равны \(y\): \(7x^2 - 5x = 7x - 5\) Перенесем все члены в левую часть: \(7x^2 - 5x - 7x + 5 = 0\) \(7x^2 - 12x + 5 = 0\) Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4\) Найдем корни \(x\): \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{12 + 2}{14} = \frac{14}{14} = 1\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{12 - 2}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя второе уравнение \(y = 7x - 5\): Для \(x_1 = 1\): \(y_1 = 7 \cdot 1 - 5 = 7 - 5 = 2\) Для \(x_2 = \frac{5}{7}\): \(y_2 = 7 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0\) Ответ: \((1; 2)\) и \((\frac{5}{7}; 0)\). б) \[ \begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases} \] Решение: Сложим два уравнения, чтобы исключить \(y\): \((5x^2 + y) + (9x^2 - y) = 12 + 2\) \(5x^2 + y + 9x^2 - y = 14\) \(14x^2 = 14\) \(x^2 = 1\) \(x = \pm 1\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя первое уравнение \(y = 12 - 5x^2\): Для \(x_1 = 1\): \(y_1 = 12 - 5 \cdot (1)^2 = 12 - 5 = 7\) Для \(x_2 = -1\): \(y_2 = 12 - 5 \cdot (-1)^2 = 12 - 5 = 7\) Ответ: \((1; 7)\) и \((-1; 7)\). в) \[ \begin{cases} 5x^2 + y^2 = 61 \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения выразим \(y^2\): \(y^2 = 61 - 5x^2\) Подставим это выражение во второе уравнение: \(15x^2 + 3(61 - 5x^2) = 61x\) Раскроем скобки: \(15x^2 + 183 - 15x^2 = 61x\) \(183 = 61x\) Найдем \(x\): \(x = \frac{183}{61} = 3\) Теперь найдем \(y^2\), подставив \(x = 3\) в выражение для \(y^2\): \(y^2 = 61 - 5 \cdot (3)^2 = 61 - 5 \cdot 9 = 61 - 45 = 16\) \(y = \pm \sqrt{16}\) \(y = \pm 4\) Ответ: \((3; 4)\) и \((3; -4)\). 2. Решите задачу. Площадь прямоугольника равна 36 см\(^2\), а его периметр – 24 см. Найдите стороны прямоугольника. Решение: Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\). Периметр прямоугольника \(P = 2(a + b)\). По условию задачи: \(a \cdot b = 36\) \(2(a + b) = 24\) Из второго уравнения найдем сумму сторон: \(a + b = \frac{24}{2}\) \(a + b = 12\) Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a \cdot b = 36 \\ a + b = 12 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(a\): \(a = 12 - b\) Подставим это выражение в первое уравнение: \((12 - b) \cdot b = 36\) \(12b - b^2 = 36\) Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \(0 = b^2 - 12b + 36\) \(b^2 - 12b + 36 = 0\) Это квадратное уравнение можно свернуть по формуле квадрата разности: \((b - 6)^2 = 0\). Тогда \(b - 6 = 0\), откуда \(b = 6\). Найдем \(a\): \(a = 12 - b = 12 - 6 = 6\) Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 6 см. Это означает, что прямоугольник является квадратом. Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 6 см. 3. Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 45 \\ xy = 18 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения выразим \(y\): \(y = \frac{18}{x}\) Подставим это выражение в первое уравнение: \(x^2 + \left(\frac{18}{x}\right)^2 = 45\) \(x^2 + \frac{324}{x^2} = 45\) Умножим все члены на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\)): \(x^4 + 324 = 45x^2\) Перенесем все члены в левую часть: \(x^4 - 45x^2 + 324 = 0\) Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \(t = x^2\), где \(t \ge 0\): \(t^2 - 45t + 324 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729\) \(\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27\) Найдем корни \(t\): \(t_1 = \frac{-(-45) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{45 + 27}{2} = \frac{72}{2} = 36\) \(t_2 = \frac{-(-45) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{45 - 27}{2} = \frac{18}{2} = 9\) Теперь вернемся к \(x^2 = t\): Для \(t_1 = 36\): \(x^2 = 36\) \(x = \pm 6\) Для \(t_2 = 9\): \(x^2 = 9\) \(x = \pm 3\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя \(y = \frac{18}{x}\): Если \(x = 6\), то \(y = \frac{18}{6} = 3\). Если \(x = -6\), то \(y = \frac{18}{-6} = -3\). Если \(x = 3\), то \(y = \frac{18}{3} = 6\). Если \(x = -3\), то \(y = \frac{18}{-3} = -6\). Ответ: \((6; 3)\), \((-6; -3)\), \((3; 6)\), \((-3; -6)\). б) \[ \begin{cases} x^2 = 10y + 6 \\ x^2 + 3 = 10y + y^2 \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения выразим \(10y\): \(10y = x^2 - 6\) Подставим это выражение во второе уравнение: \(x^2 + 3 = (x^2 - 6) + y^2\) \(x^2 + 3 = x^2 - 6 + y^2\) Сократим \(x^2\) с обеих сторон: \(3 = -6 + y^2\) Перенесем -6 в левую часть: \(3 + 6 = y^2\) \(9 = y^2\) \(y = \pm 3\) Теперь найдем соответствующие значения \(x\) для каждого \(y\), используя первое уравнение \(x^2 = 10y + 6\): Для \(y_1 = 3\): \(x^2 = 10 \cdot 3 + 6 = 30 + 6 = 36\) \(x = \pm 6\) Для \(y_2 = -3\): \(x^2 = 10 \cdot (-3) + 6 = -30 + 6 = -24\) В этом случае \(x^2 = -24\), что не имеет действительных решений для \(x\). Ответ: \((6; 3)\) и \((-6; 3)\).