Решение задачи: Выражение вектора OD через векторы OA, OB, OC в трапеции

Решение задачи: Дано: Трапеция \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\) и \(AD = 10BC\). Точка \(O\) — произвольная точка плоскости. Выразить вектор \(\vec{OD}\) через \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\). Решение: 1. Рассмотрим векторы оснований трапеции. Так как \(AD \parallel BC\) и \(AD = 10BC\), а векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) сонаправлены, то: \[ \vec{AD} = 10 \cdot \vec{BC} \] 2. Выразим векторы сторон через радиус-векторы из точки \(O\): \[ \vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} \] \[ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} \] 3. Подставим эти выражения в равенство из первого пункта: \[ \vec{OD} - \vec{OA} = 10 \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) \] 4. Раскроем скобки: \[ \vec{OD} - \vec{OA} = 10\vec{OC} - 10\vec{OB} \] 5. Перенесем \(\vec{OA}\) в правую часть уравнения, чтобы выразить \(\vec{OD}\): \[ \vec{OD} = \vec{OA} - 10\vec{OB} + 10\vec{OC} \] Теперь сопоставим полученный результат с формой ответа в задании: \(\vec{OD} = \square \cdot \vec{OA} - \square \cdot \vec{OB} + \square \cdot \vec{OC}\) Коэффициенты для заполнения окошек: Перед \(\vec{OA}\) стоит коэффициент \(1\). Перед \(\vec{OB}\) стоит коэффициент \(10\) (так как минус уже стоит в условии). Перед \(\vec{OC}\) стоит коэффициент \(10\). Ответ: \[ \vec{OD} = 1 \cdot \vec{OA} - 10 \cdot \vec{OB} + 10 \cdot \vec{OC} \]