Решение задачи: правильный шестиугольник ABCDEF и векторы

Решение задачи: Дан правильный шестиугольник \(ABCDEF\) с центром в точке \(O\). В правильном шестиугольнике стороны равны, а диагонали, проходящие через центр, делят его на 6 равных равносторонних треугольников. Рассмотрим каждый пункт: а. \( \vec{AB} = \square \vec{ED} \) Стороны \(AB\) и \(ED\) параллельны и равны по длине. Вектор \( \vec{AB} \) направлен вверх-вправо, а вектор \( \vec{ED} \) направлен вниз-влево. Они противоположно направлены. Ответ: \( -1 \) b. \( \vec{EF} = \square \vec{BC} \) Стороны \(EF\) и \(BC\) параллельны и равны по длине. Вектор \( \vec{EF} \) направлен вниз-вправо, а вектор \( \vec{BC} \) направлен вверх-вправо. Они не параллельны друг другу в плане направления по одной линии, но в правильном шестиугольнике \( \vec{EF} \) параллелен \( \vec{CB} \). Посмотрим на рисунок: \( \vec{EF} \) и \( \vec{BC} \) имеют одинаковую длину, но разные направления. Однако, согласно свойствам, \( \vec{EF} = \vec{CB} \), значит \( \vec{EF} = - \vec{BC} \). Ответ: \( -1 \) c. \( \vec{DA} = \square \vec{EF} \) Диагональ \(DA\) проходит через центр \(O\). Ее длина в 2 раза больше стороны \(EF\). Вектор \( \vec{DA} \) направлен влево-вниз. Вектор \( \vec{EF} \) направлен вправо-вниз. Они не сонаправлены. Но в правильном шестиугольнике \( \vec{DA} = 2 \cdot \vec{CB} \). Если сравнивать \( \vec{DA} \) и \( \vec{EF} \), то \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{EF} \) только если мы говорим о векторе \( \vec{CF} \). По рисунку: \( \vec{DA} \) параллелен стороне \( EF \) быть не может. Скорее всего, имеется в виду \( \vec{DA} = 2 \vec{OF} \) или связь с параллельными сторонами. Проверим: \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{EF} \)? Нет. \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{BC} \)? Нет. \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{OC} \)? Нет. В правильном шестиугольнике \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{EF} \) быть не может. Однако, если в задании опечатка и имелось в виду \( \vec{DA} \) и \( \vec{OD} \), или если смотреть на проекции. Но обычно в таких задачах \( \vec{DA} = 2 \vec{OA} \). Если строго по рисунку: \( \vec{DA} \) и \( \vec{EF} \) не коллинеарны. Перепроверим: \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{CB} \) и \( \vec{EF} \)? Нет, \( \vec{DA} \) параллелен \( \vec{EF} \) в правильном шестиугольнике быть не может. Параллельны \( \vec{AD} \parallel \vec{BC} \parallel \vec{FE} \). Значит: \( \vec{DA} \) и \( \vec{EF} \) коллинеарны. \( \vec{DA} \) направлен от \(D\) к \(A\), \( \vec{EF} \) от \(E\) к \(F\). Они сонаправлены. Длина \(DA\) в 2 раза больше \(EF\). Ответ: \( 2 \) d. \( \vec{AO} = \square \vec{DA} \) Вектор \( \vec{AO} \) — это половина диагонали \(AD\). Вектор \( \vec{DA} \) направлен в противоположную сторону вектору \( \vec{AD} \). Длина \(AO\) составляет \( \frac{1}{2} \) длины \(DA\). Направление \( \vec{AO} \) (в центр) противоположно направлению \( \vec{DA} \) (из \(D\) в \(A\)). Значит, они сонаправлены (оба "вниз-влево"). Проверим: \( \vec{DA} \) идет от \(D\) к \(A\). \( \vec{AO} \) идет от \(A\) к \(O\). Они направлены в противоположные стороны. \( \vec{AO} = -\frac{1}{2} \vec{DA} \). Ответ: \( -0,5 \) (или \( -1/2 \)) Резюме для тетради: а) \( -1 \) б) \( -1 \) в) \( 2 \) г) \( -0,5 \)