Выражение вектора OD через OA, OB, OC в трапеции

Решение задачи: Дано: Трапеция \(ABCD\), в которой \(AD \parallel BC\) и \(AD = 8BC\). Точка \(O\) — произвольная точка. Выразить вектор \(\vec{OD}\) через \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\). Решение: 1. Так как основания трапеции параллельны и \(AD = 8BC\), а векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) направлены в одну сторону, запишем векторное равенство: \[ \vec{AD} = 8 \cdot \vec{BC} \] 2. Выразим векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) через разность радиус-векторов, исходящих из точки \(O\): \[ \vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} \] \[ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} \] 3. Подставим эти выражения в равенство из первого пункта: \[ \vec{OD} - \vec{OA} = 8 \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) \] 4. Раскроем скобки в правой части: \[ \vec{OD} - \vec{OA} = 8\vec{OC} - 8\vec{OB} \] 5. Перенесем вектор \(\vec{OA}\) в правую часть с противоположным знаком, чтобы изолировать \(\vec{OD}\): \[ \vec{OD} = \vec{OA} - 8\vec{OB} + 8\vec{OC} \] Теперь сопоставим результат с пропусками в условии: \(\vec{OD} = \square \cdot \vec{OA} - \square \cdot \vec{OB} + \square \cdot \vec{OC}\) Коэффициенты для заполнения: В первое окошко (перед \(\vec{OA}\)) пишем: \(1\) Во второе окошко (перед \(\vec{OB}\), так как минус уже стоит) пишем: \(8\) В третье окошко (перед \(\vec{OC}\)) пишем: \(8\) Ответ: \[ \vec{OD} = 1 \cdot \vec{OA} - 8 \cdot \vec{OB} + 8 \cdot \vec{OC} \]