Задача 1. Определить реакции стержней.
Дано:
\(P = 800 \, \text{Н}\)
\(\alpha = 30^\circ\)
\(\beta = 60^\circ\)
Найти:
\(R_{AB}\) – реакция стержня AB
\(R_{BC}\) – реакция стержня BC
Решение:
Рассмотрим точку B, к которой приложены силы. Это точка равновесия.
На точку B действуют следующие силы:
- Сила \(P\), направленная горизонтально влево.
- Реакция стержня AB, направленная вдоль стержня AB. Обозначим её \(R_{AB}\).
- Реакция стержня BC, направленная вдоль стержня BC. Обозначим её \(R_{BC}\).
Для равновесия точки B составим уравнения равновесия в проекциях на оси X и Y.
Выберем систему координат: ось X направим горизонтально вправо, ось Y – вертикально вверх.
1. Уравнение равновесия по оси X:
\[\sum F_x = 0\]
Проекция силы \(P\) на ось X: \(-P\)
Проекция силы \(R_{AB}\) на ось X: \(R_{AB} \cdot \cos \alpha\)
Проекция силы \(R_{BC}\) на ось X: \(-R_{BC} \cdot \cos \beta\)
Тогда:
\[-P + R_{AB} \cdot \cos \alpha - R_{BC} \cdot \cos \beta = 0 \quad (1)\]
2. Уравнение равновесия по оси Y:
\[\sum F_y = 0\]
Проекция силы \(P\) на ось Y: \(0\)
Проекция силы \(R_{AB}\) на ось Y: \(R_{AB} \cdot \sin \alpha\)
Проекция силы \(R_{BC}\) на ось Y: \(R_{BC} \cdot \sin \beta\)
Тогда:
\[R_{AB} \cdot \sin \alpha + R_{BC} \cdot \sin \beta = 0 \quad (2)\]
Из уравнения (2) выразим \(R_{AB}\):
\[R_{AB} \cdot \sin \alpha = -R_{BC} \cdot \sin \beta\]
\[R_{AB} = -R_{BC} \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\]
Подставим значения углов:
\(\sin 30^\circ = 0.5\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\[R_{AB} = -R_{BC} \cdot \frac{0.866}{0.5} = -1.732 \cdot R_{BC}\]
Отрицательный знак означает, что наше первоначальное предположение о направлении \(R_{AB}\) было неверным. Это значит, что стержень AB сжат, а не растянут, или наоборот, в зависимости от того, как мы изначально направили силы. Для удобства расчетов пока оставим так, а в конце интерпретируем.
Подставим \(R_{AB}\) в уравнение (1):
\[-P + \left(-R_{BC} \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\right) \cdot \cos \alpha - R_{BC} \cdot \cos \beta = 0\]
\[-P - R_{BC} \cdot \frac{\sin \beta \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha} - R_{BC} \cdot \cos \beta = 0\]
\[-P - R_{BC} \cdot \left(\frac{\sin \beta \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha} + \cos \beta\right) = 0\]
\[-P - R_{BC} \cdot \left(\sin \beta \cdot \text{ctg} \alpha + \cos \beta\right) = 0\]
\[P = -R_{BC} \cdot \left(\sin \beta \cdot \text{ctg} \alpha + \cos \beta\right)\]
\[R_{BC} = -\frac{P}{\sin \beta \cdot \text{ctg} \alpha + \cos \beta}\]
Вычислим значения:
\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(\cos 60^\circ = 0.5\)
\(\text{ctg} 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{0.866}{0.5} = 1.732\)
\[R_{BC} = -\frac{800}{0.866 \cdot 1.732 + 0.5}\]
\[R_{BC} = -\frac{800}{1.5 + 0.5}\]
\[R_{BC} = -\frac{800}{2}\]
\[R_{BC} = -400 \, \text{Н}\]
Отрицательный знак для \(R_{BC}\) означает, что стержень BC сжат (сила направлена к точке B), а не растянут, как мы могли бы предположить, направляя силу от точки B.
Теперь найдем \(R_{AB}\):
\[R_{AB} = -R_{BC} \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\]
\[R_{AB} = -(-400) \cdot \frac{0.866}{0.5}\]
\[R_{AB} = 400 \cdot 1.732\]
\[R_{AB} = 692.8 \, \text{Н}\]
Положительный знак для \(R_{AB}\) означает, что стержень AB растянут (сила направлена от точки B).
Ответ:
Реакция стержня AB: \(R_{AB} = 692.8 \, \text{Н}\) (растяжение)
Реакция стержня BC: \(R_{BC} = 400 \, \text{Н}\) (сжатие)
Задача 2. Определить реакции балочных опор.
Дано:
\(F = 300 \, \text{Н}\)
\(m = 300 \, \text{Н} \cdot \text{м}\)
\(q = 120 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}\)
Найти:
\(R_A\) – вертикальная реакция левой опоры (шарнирно-неподвижной)
\(R_B\) – вертикальная реакция правой опоры (шарнирно-подвижной)
\(H_A\) – горизонтальная реакция левой опоры
Решение:
Обозначим левую опору как A, правую опору как B.
На балку действуют следующие нагрузки:
- Сосредоточенная сила \(F = 300 \, \text{Н}\), направленная вниз, на расстоянии 2 м от опоры A.
- Сосредоточенный момент \(m = 300 \, \text{Н} \cdot \text{м}\), приложенный на расстоянии 4 м от опоры A (2 м + 2 м), вращающий по часовой стрелке.
- Равномерно распределенная нагрузка \(q = 120 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}\), действующая на участке длиной 4 м, начиная с 4 м от опоры A.
Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\), приложенной в центре участка её действия.
Длина участка распределенной нагрузки: \(L_q = 4 \, \text{м}\)
Величина сосредоточенной силы \(Q = q \cdot L_q = 120 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 4 \, \text{м} = 480 \, \text{Н}\)
Точка приложения силы \(Q\): на расстоянии \(4 \, \text{м} + \frac{4 \, \text{м}}{2} = 4 \, \text{м} + 2 \, \text{м} = 6 \, \text{м}\) от опоры A.
Составим уравнения равновесия для балки:
1. Уравнение равновесия по оси X:
\[\sum F_x = 0\]
На балку действуют только горизонтальная реакция \(H_A\). Все остальные силы вертикальны или являются моментами.
\[H_A = 0\]
2. Уравнение равновесия по оси Y:
\[\sum F_y = 0\]
\[R_A + R_B - F - Q = 0\]
\[R_A + R_B - 300 \, \text{Н} - 480 \, \text{Н} = 0\]
\[R_A + R_B = 780 \, \text{Н} \quad (1)\]
3. Уравнение моментов относительно точки A (левой опоры):
\[\sum M_A = 0\]
Моменты от сил, вращающих по часовой стрелке, считаем положительными. Моменты от сил, вращающих против часовой стрелки, считаем отрицательными.
Момент от силы \(F\): \(F \cdot 2 \, \text{м} = 300 \, \text{Н} \cdot 2 \, \text{м} = 600 \, \text{Н} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке)
Момент \(m\): \(m = 300 \, \text{Н} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке)
Момент от силы \(Q\): \(Q \cdot 6 \, \text{м} = 480 \, \text{Н} \cdot 6 \, \text{м} = 2880 \, \text{Н} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке)
Момент от реакции \(R_B\): \(-R_B \cdot (2+2+4) \, \text{м} = -R_B \cdot 8 \, \text{м}\) (против часовой стрелки)
\[F \cdot 2 + m + Q \cdot 6 - R_B \cdot 8 = 0\]
\[300 \cdot 2 + 300 + 480 \cdot 6 - R_B \cdot 8 = 0\]
\[600 + 300 + 2880 - 8 R_B = 0\]
\[3780 - 8 R_B = 0\]
\[8 R_B = 3780\]
\[R_B = \frac{3780}{8}\]
\[R_B = 472.5 \, \text{Н}\]
Теперь подставим значение \(R_B\) в уравнение (1):
\[R_A + 472.5 = 780\]
\[R_A = 780 - 472.5\]
\[R_A = 307.5 \, \text{Н}\]
Ответ:
Горизонтальная реакция опоры A: \(H_A = 0 \, \text{Н}\)
Вертикальная реакция опоры A: \(R_A = 307.5 \, \text{Н}\)
Вертикальная реакция опоры B: \(R_B = 472.5 \, \text{Н}\)
Задача 3. Определить реакции балочных опор.
Дано:
\(F = 300 \, \text{Н}\)
\(m = 300 \, \text{Н} \cdot \text{м}\)
\(q = 120 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}\)
\(\alpha = 60^\circ\)
Найти:
\(R_A\) – вертикальная реакция заделки
\(H_A\) – горизонтальная реакция заделки
\(M_A\) – реактивный момент заделки
Решение:
Балка жестко заделана с левого конца (точка A). Это означает, что в точке A возникают три реакции: вертикальная \(R_A\), горизонтальная \(H_A\) и реактивный момент \(M_A\).
На балку действуют следующие нагрузки:
- Сосредоточенный момент \(m = 300 \, \text{Н} \cdot \text{м}\), приложенный на расстоянии 1 м от заделки, вращающий против часовой стрелки.
- Равномерно распределенная нагрузка \(q = 120 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}}\), действующая на участке длиной 2 м, начиная с 1 м от заделки.
- Сосредоточенная сила \(F = 300 \, \text{Н}\), приложенная на правом конце балки (на расстоянии \(1 \, \text{м} + 2 \, \text{м} = 3 \, \text{м}\) от заделки), под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонтали.
Разложим силу \(F\) на горизонтальную и вертикальную составляющие:
\(F_x = F \cdot \cos \alpha = 300 \, \text{Н} \cdot \cos 60^\circ = 300 \, \text{Н} \cdot 0.5 = 150 \, \text{Н}\)
\(F_y = F \cdot \sin \alpha = 300 \, \text{Н} \cdot \sin 60^\circ = 300 \, \text{Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 300 \, \text{Н} \cdot 0.866 = 259.8 \, \text{Н}\)
Направление \(F_x\) – вправо, \(F_y\) – вниз.
Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\), приложенной в центре участка её действия.
Длина участка распределенной нагрузки: \(L_q = 2 \, \text{м}\)
Величина сосредоточенной силы \(Q = q \cdot L_q = 120 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 2 \, \text{м} = 240 \, \text{Н}\)
Точка приложения силы \(Q\): на расстоянии \(1 \, \text{м