Решение задачи: Площадь равностороннего треугольника

Для того чтобы дополнить доказательство формулы площади равностороннего треугольника, необходимо вставить пропущенные элементы в соответствии с логикой математического вывода. Ниже приведены ответы для каждого пункта: 1. В первом пункте сравниваются треугольники. Так как высота в равностороннем треугольнике является медианой и биссектрисой, треугольники равны. Ответ: \( = \) (или знак равенства/конгруэнтности \( \cong \)). 2. Здесь указывается, площадь какой фигуры берется за основу. Площадь всего треугольника \( ABC \) состоит из двух площадей прямоугольных треугольников. Ответ: \( S_{ABE} \). 3. В этом пункте записывается формула площади прямоугольного треугольника через его катеты. Ответ: \( \frac{1}{2} AE \cdot BE \). 4. В последнем пункте подставляется уже вычисленное значение площади треугольника \( ABE \), чтобы получить итоговую формулу. Ответ: \( \frac{a^2\sqrt{3}}{8} \). Ниже представлен полный текст доказательства для записи в тетрадь: Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Доказательство: Проведём высоту \( h \), которая в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой. \( \triangle ABE = \triangle CBE \) по трём сторонам, тогда: \[ S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABE} = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} AE \cdot BE \right) \] Так как \( E \) — середина \( AC \), то \( AE = \frac{a}{2} \). По теореме Пифагора из \( \triangle ABE \): \[ BE = h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Тогда площадь треугольника \( ABE \): \[ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} \] Следовательно, площадь всего треугольника \( ABC \): \[ S_{ABC} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Что и требовалось доказать.