Решение задачи: Доказательство теоремы Пифагора

Для того чтобы дополнить доказательство теоремы Пифагора, необходимо сопоставить пропущенные номера с соответствующими математическими выражениями. Ниже приведены ответы для каждого пункта: 1. Площадь \( S \) большого квадрата со стороной \( a + b \) вычисляется по формуле площади квадрата. Ответ: \( (a + b)^2 \). 2. В формуле \( S_{квадрата} = 4 \cdot (2) + (3) \) число 4 умножается на площадь одного прямоугольного треугольника. Ответ: \( \frac{1}{2} ab \). 3. К сумме площадей четырех треугольников прибавляется площадь внутреннего квадрата со стороной \( c \). Ответ: \( c^2 \). 4. После раскрытия скобок в левой части уравнения \( (a + b)^2 = 2ab + c^2 \) получается \( a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \). После сокращения \( 2ab \) мы получаем искомое равенство. Ответ: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Ниже представлен полный текст доказательства для записи в тетрадь: Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \( a, b \) и гипотенузой \( c \). Докажем, что \( c^2 = a^2 + b^2 \). Достроим треугольник до квадрата со стороной \( a + b \). Площадь \( S \) этого квадрата равна: \[ S = (a + b)^2 \] С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна \( \frac{1}{2} ab \), и внутреннего квадрата со стороной \( c \). Поэтому: \[ S_{квадрата} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} ab \right) + c^2 = 2ab + c^2 \] Таким образом: \[ (a + b)^2 = 2ab + c^2 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \] Вычитая из обеих частей \( 2ab \), получаем: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Что и требовалось доказать.