Доказательство обратной теоремы Пифагора: решение задачи

Для того чтобы дополнить доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора, нужно вставить пропущенные выражения в соответствии с логикой геометрического вывода. Ниже приведены ответы для каждого пункта: 1. В этом пункте записывается сама теорема Пифагора для вспомогательного прямоугольного треугольника \( A_1B_1C_1 \). Ответ: \( A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 \). 2. Так как по построению \( A_1C_1 = AC \) и \( B_1C_1 = BC \), мы заменяем стороны вспомогательного треугольника сторонами исходного. Ответ: \( AC^2 + BC^2 \). 3. Здесь используется условие теоремы, которое дано изначально для треугольника \( ABC \). Ответ: \( AB^2 \). 4. В этом пункте сравниваются два треугольника. Так как все их стороны равны (\( AC=A_1C_1 \), \( BC=B_1C_1 \) и доказано, что \( AB=A_1B_1 \)), треугольники равны. Ответ: \( = \) (знак равенства или конгруэнтности). 5. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол \( C \) соответствует углу \( C_1 \). Ответ: \( \angle C_1 \). 6. Так как \( \angle C_1 = 90^\circ \), то и \( \angle C = 90^\circ \), значит треугольник является прямоугольным. Ответ: прямоугольный. Ниже представлен полный текст доказательства для записи в тетрадь: Теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Доказательство: Пусть в треугольнике \( ABC \) выполняется условие \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \). Докажем, что угол \( C \) прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( A_1B_1C_1 \) с прямым углом \( C_1 \), у которого катеты равны сторонам исходного треугольника: \( A_1C_1 = AC \) и \( B_1C_1 = BC \). По теореме Пифагора для треугольника \( A_1B_1C_1 \): \[ A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 \] и, значит: \[ A_1B_1^2 = AC^2 + BC^2 \] Но по условию теоремы \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). Следовательно, \( A_1B_1^2 = AB^2 \), откуда \( A_1B_1 = AB \). Треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) равны по трём сторонам (\( ABC = A_1B_1C_1 \)), поэтому их соответствующие углы равны: \[ \angle C = \angle C_1 \] Так как \( \angle C_1 = 90^\circ \), то и \( \angle C = 90^\circ \), т. е. треугольник \( ABC \) прямоугольный с прямым углом \( C \). Что и требовалось доказать.