Решение квадратных неравенств: 3x^2 + 8x + 3 > 0 и x^2 - 19x + 40 < 0

Решение квадратных неравенств. а) \( 3x^2 + 8x + 3 > 0 \) 1. Найдем корни квадратного трехчлена \( 3x^2 + 8x + 3 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \] 2. Вычислим корни: \[ x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3} \] \[ x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 + \sqrt{7}}{3} \] 3. Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 3 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство имеет знак \( > \), значит нам нужны интервалы по краям от корней. Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{-4 + \sqrt{7}}{3}; +\infty) \) б) \( x^2 - 19x + 40 < 0 \) 1. Найдем корни уравнения \( x^2 - 19x + 40 = 0 \). \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 361 - 160 = 201 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{201} \] 2. Вычислим корни: \[ x_1 = \frac{19 - \sqrt{201}}{2} \] \[ x_2 = \frac{19 + \sqrt{201}}{2} \] 3. Коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 1 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство имеет знак \( < \), значит решением является интервал между корнями. Ответ: \( x \in (\frac{19 - \sqrt{201}}{2}; \frac{19 + \sqrt{201}}{2}) \)