Решение систем уравнений

Решение систем уравнений. 1. Решим первую систему: \[ \begin{cases} 6x^2 + y = 14 \\ 12x^2 - y = 4 \end{cases} \] Сложим уравнения системы: \[ (6x^2 + 12x^2) + (y - y) = 14 + 4 \] \[ 18x^2 = 18 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 6 \cdot 1 + y = 14 \] \[ y = 14 - 6 = 8 \] Ответ: \( (1; 8), (-1; 8) \). 2. Решим вторую систему: \[ \begin{cases} 2x^2 + y = 9 \\ 3x^2 - y = 11 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 5x^2 = 20 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x_1 = 2, x_2 = -2 \] Подставим \( x^2 = 4 \) в первое уравнение: \[ 2 \cdot 4 + y = 9 \] \[ 8 + y = 9 \] \[ y = 1 \] Ответ: \( (2; 1), (-2; 1) \). 3. Решим третью систему: \[ \begin{cases} 7x^2 - 5x = y \\ 7x - 5 = y \end{cases} \] Приравняем правые части: \[ 7x^2 - 5x = 7x - 5 \] \[ 7x^2 - 12x + 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4 \] \[ x = \frac{12 \pm 2}{14} \] \[ x_1 = 1, x_2 = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \] Найдем \( y \): Если \( x_1 = 1 \), то \( y_1 = 7 \cdot 1 - 5 = 2 \). Если \( x_2 = \frac{5}{7} \), то \( y_2 = 7 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0 \). Ответ: \( (1; 2), (\frac{5}{7}; 0) \). 4. Решим четвертую систему: \[ \begin{cases} 9x^2 - 14x = y \\ 9x - 14 = y \end{cases} \] Приравняем уравнения: \[ 9x^2 - 14x = 9x - 14 \] \[ 9x^2 - 23x + 14 = 0 \] \[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 529 - 504 = 25 \] \[ x = \frac{23 \pm 5}{18} \] \[ x_1 = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}, x_2 = \frac{18}{18} = 1 \] Найдем \( y \): Если \( x_1 = \frac{14}{9} \), то \( y_1 = 9 \cdot \frac{14}{9} - 14 = 0 \). Если \( x_2 = 1 \), то \( y_2 = 9 \cdot 1 - 14 = -5 \). Ответ: \( (\frac{14}{9}; 0), (1; -5) \). 5. Решим пятую систему: \[ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} \] Заметим, что левая часть второго уравнения в 4 раза больше левой части первого: \[ 4 \cdot (3x^2 + 2y^2) = 50x \] Подставим значение из первого уравнения: \[ 4 \cdot 50 = 50x \] \[ 200 = 50x \] \[ x = 4 \] Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение: \[ 3 \cdot 4^2 + 2y^2 = 50 \] \[ 3 \cdot 16 + 2y^2 = 50 \] \[ 48 + 2y^2 = 50 \] \[ 2y^2 = 2 \] \[ y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1 \] Ответ: \( (4; 1), (4; -1) \). 6. Решим шестую систему: \[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x \end{cases} \] Аналогично, левая часть второго уравнения в 4 раза больше первой: \[ 4 \cdot (2x^2 + y^2) = 36x \] \[ 4 \cdot 36 = 36x \] \[ x = 4 \] Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение: \[ 2 \cdot 4^2 + y^2 = 36 \] \[ 2 \cdot 16 + y^2 = 36 \] \[ 32 + y^2 = 36 \] \[ y^2 = 4 \Rightarrow y_1 = 2, y_2 = -2 \] Ответ: \( (4; 2), (4; -2) \).