Решение задачи с комплексными числами z1, z2, z3, z4

Задание 1 (Вариант 1.1) Дано: \( z_1 = 4 + i \) \( z_2 = 7 \) \( z_3 = 3i \) \( z_4 = -4 + 4i \) 1) Изображение на комплексной плоскости. Для построения в тетради начертите оси: горизонтальную \( Re \) (вещественная часть) и вертикальную \( Im \) (мнимая часть). Отметьте точки: \( z_1(4; 1) \) \( z_2(7; 0) \) \( z_3(0; 3) \) \( z_4(-4; 4) \) 2) Запись \( z_4 \) в тригонометрической и показательной формах. Найдем модуль числа \( z_4 = -4 + 4i \): \[ |z_4| = r = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Найдем аргумент \( \varphi \). Так как точка находится во второй четверти (\( x < 0, y > 0 \)): \[ \varphi = \pi - \arctan\left(\frac{4}{4}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] Тригонометрическая форма: \[ z_4 = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \] Показательная форма: \[ z_4 = 4\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} \] 3) Вычисления. Вычислим \( z_1 - z_3 \): \[ z_1 - z_3 = (4 + i) - 3i = 4 - 2i \] Вычислим \( z_1 \cdot \bar{z}_4 \). Сначала найдем сопряженное \( \bar{z}_4 = -4 - 4i \): \[ z_1 \cdot \bar{z}_4 = (4 + i)(-4 - 4i) = -16 - 16i - 4i - 4i^2 = -16 - 20i + 4 = -12 - 20i \] Вычислим \( \frac{z_4}{z_1} \): \[ \frac{z_4}{z_1} = \frac{-4 + 4i}{4 + i} = \frac{(-4 + 4i)(4 - i)}{(4 + i)(4 - i)} = \frac{-16 + 4i + 16i - 4i^2}{16 + 1} = \frac{-16 + 20i + 4}{17} = \frac{-12 + 20i}{17} = -\frac{12}{17} + \frac{20}{17}i \] Вычислим \( z_4^6 \). Используем формулу Муавра: \[ z_4^6 = (4\sqrt{2})^6 \left( \cos\left(6 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(6 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) \right) \] \[ (4\sqrt{2})^6 = 4^6 \cdot (\sqrt{2})^6 = 4096 \cdot 8 = 32768 \] \[ 6 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} \] Так как период \( 2\pi \), то аргумент равен \( \frac{\pi}{2} \). \[ z_4^6 = 32768 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 32768 (0 + i \cdot 1) = 32768i \]