Решение задачи №8: вычисление w(z) для z = -2 + i

Задача № 8 Дано: \[ z = -2 + i \] \[ w(z) = z^2 + (\bar{z} - i^3)(z + 2) - \frac{z + 2i}{z - 5i^4} \] Решение: 1. Подготовим необходимые компоненты для подстановки: Вычислим степени мнимой единицы: \[ i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \] \[ i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 \] Найдем сопряженное число \( \bar{z} \): \[ \bar{z} = \overline{-2 + i} = -2 - i \] 2. Вычислим каждое слагаемое функции по отдельности: Первое слагаемое \( z^2 \): \[ z^2 = (-2 + i)^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i \] Второе слагаемое \( (\bar{z} - i^3)(z + 2) \): Заметим, что \( z + 2 = (-2 + i) + 2 = i \). Подставим значения: \[ (\bar{z} - i^3)(z + 2) = (-2 - i - (-i)) \cdot i = (-2 - i + i) \cdot i = -2 \cdot i = -2i \] Третье слагаемое (дробь) \( \frac{z + 2i}{z - 5i^4} \): Подставим \( z \) и \( i^4 \): \[ \frac{-2 + i + 2i}{-2 + i - 5(1)} = \frac{-2 + 3i}{-7 + i} \] Чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( (-7 - i) \): \[ \frac{(-2 + 3i)(-7 - i)}{(-7 + i)(-7 - i)} = \frac{14 + 2i - 21i - 3i^2}{(-7)^2 - i^2} = \frac{14 - 19i + 3}{49 + 1} = \frac{17 - 19i}{50} = 0,34 - 0,38i \] 3. Соберем все части вместе: \[ w(z) = (3 - 4i) + (-2i) - (0,34 - 0,38i) \] \[ w(z) = 3 - 4i - 2i - 0,34 + 0,38i \] Сгруппируем действительные и мнимые части: \[ w(z) = (3 - 0,34) + (-4 - 2 + 0,38)i \] \[ w(z) = 2,66 - 5,62i \] Ответ: \( w(-2+i) = 2,66 - 5,62i \)