Решение задания: Упростить выражение (Вариант С1)

Вариант С1 Задание 1. Упростить выражение а) \(\frac{1}{2}\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \sqrt{75}\) Разложим числа под корнями на множители, из которых извлекается квадратный корень: \[\frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3} - 2\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{25 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} - 2 \cdot 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = \sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 0\] Ответ: 0. б) \(9\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} - \frac{1}{3}\sqrt{3})\) Раскроем скобки: \[9\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} - 9\sqrt{7} \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3} = 9 \cdot 7 - 3\sqrt{21} = 63 - 3\sqrt{21}\] Ответ: \(63 - 3\sqrt{21}\). в) \((\sqrt{5} + 2\sqrt{2})^2\) Воспользуемся формулой квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \[(\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 5 + 4\sqrt{10} + 4 \cdot 2 = 5 + 4\sqrt{10} + 8 = 13 + 4\sqrt{10}\] Ответ: \(13 + 4\sqrt{10}\). г) \((\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} + 2\sqrt{3})\) Воспользуемся формулой разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 2 - 4 \cdot 3 = 2 - 12 = -10\] Ответ: -10. Задание 2. Сравните значения выражений \(6\sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{88}\) Внесем множители под знак корня: \[6\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{36 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{12 \cdot 2} = \sqrt{24}\] \[\frac{1}{2}\sqrt{88} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 88} = \sqrt{22}\] Так как \(24 > 22\), то \(\sqrt{24} > \sqrt{22}\). Следовательно: \(6\sqrt{\frac{2}{3}} > \frac{1}{2}\sqrt{88}\). Задание 3. Сократить дробь а) \(\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - 5\sqrt{2}}\) Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: \[\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 5)} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{10})}\] Попробуем другой способ вынесения: \[\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 5)} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{-\sqrt{2}(5 - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{-\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Ответ: \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). б) \(\frac{36y - 2}{6\sqrt{y} - \sqrt{2}}\) Разложим числитель как разность квадратов: \[\frac{(6\sqrt{y})^2 - (\sqrt{2})^2}{6\sqrt{y} - \sqrt{2}} = \frac{(6\sqrt{y} - \sqrt{2})(6\sqrt{y} + \sqrt{2})}{6\sqrt{y} - \sqrt{2}} = 6\sqrt{y} + \sqrt{2}\] Ответ: \(6\sqrt{y} + \sqrt{2}\). Задание 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе а) \(\frac{10}{3\sqrt{10}}\) Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\): \[\frac{10 \cdot \sqrt{10}}{3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{\sqrt{10}}{3}\] Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{3}\). б) \(\frac{10}{3 - \sqrt{5}}\) Домножим на сопряженное выражение \((3 + \sqrt{5})\): \[\frac{10(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{10(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{10(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{10(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{5(3 + \sqrt{5})}{2} = 7,5 + 2,5\sqrt{5}\] Ответ: \(7,5 + 2,5\sqrt{5}\). Задание 5. Вычислите \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\) Заметим, что выражения под корнями являются полными квадратами: \(4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2\) \(4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} - 1)^2\) Подставим в исходное выражение: \[\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| + |\sqrt{3} - 1|\] Так как \(\sqrt{3} > 1\), модули раскрываются со знаком плюс: \[\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3}\] Ответ: \(2\sqrt{3}\).